Артур Кларк - Призрак исполина
В воздухе возникли две пересекающиеся под прямым углом линии — обычная система координат х-у. В четырех направлениях расходились последовательности чисел — 0, 1, 2, 3, 4…
Ада снова посмотрела на Брэдли в упор. Девочка будто в очередной раз попыталась определить его коэффициент интеллекта, чтобы понять, на каком уровне объяснять очевидные для нее вещи.
— Любую точку на этой плоскости, — начала она, — можно описать двумя числами — координатами х и у. Понятно?
— Понятно, — торжественно ответил Брэдли.
— Так вот: множество Мандельброта находится в очень маленькой области вокруг нашей точки, не дальше плюс-минус двух единиц по оси абсцисс и ординат. Значения вне этого квадрата не рассматриваем.
Теперь на координатной сетке остались только значения, не превышающие двух по модулю.
— Возьмем любую точку внутри сетки и соединим ее с центром. Измерим длину радиуса и назовем ее r.
«Пока мозг не особо напрягается, — подумал Брэдли. — Когда же начнутся сложности?»
— Очевидно, в данном случае r принимает значение от нуля до чуть менее трех. Если точнее, не более двух целых восьми десятых. Ясно?
— Ясно.
— Хорошо. Теперь первое упражнение. Берем величину r любой точки и возводим в квадрат. И снова возводим в квадрат, и еще раз. Что получается?
— Ада, давай лучше сама. А то испорчу все веселье.
— Если r равна единице, результирующая величина не изменится, сколько ни возводи ее в квадрат. Один умножить на один умножить на один — всегда единица.
— Так, — согласился Брэдли. Пока он понимал разъяснения Ады.
— Если число хоть на капельку больше единицы и вы начнете множить его само на себя, то раньше или позже оно улетит в бесконечность, даже если это единица и одна миллионная. Разве что придется долго считать.
Но если наше число хотя бы чуточку меньше одного — скажем, ноль целых, девять девять девять и так далее миллионных, — получится совсем наоборот. Оно будет держаться около единицы, но стоит пару раз возвести его в квадрат, как число вдруг съежится и полетит к нулю. Понятно?
На этот раз Брэдли переваривал медленнее, чем Ада говорила. Он просто кивнул. Гость пока не догадывался, куда ведет эта элементарная арифметика, но цель у нее определенно была.
— Леди, перестань приставать к мистеру Брэдли! В общем, вы видите, что непрерывное возведение чисел в квадрат делит их на два четких множества…
На пересекающихся осях появился кружок. В центре его находилась изначальная точка.
— Внутри круга — числа, исчезающие при умножении самих на себя. За пределами — числа, стремящиеся в бесконечность. Можно сказать, окружность с радиусом, равным единице, — что-то вроде забора, рубежа, разделяющего две области. Множество же точек этой окружности назовем «К».
— «К» — значит «квадрат»?
— Конеч… Да. Теперь нужно сказать кое-что важное. Числа по обе стороны полностью отделены друг от друга. Через границу не способно проникнуть ничто. Но сама она бесплотна. У нее нет толщины. Это линия. Можно увеличивать ее вечно, и ничего не изменится. Правда, вскоре она станет прямой. Вы перестанете замечать изгиб.
— Все это прекрасно, — вмешался Дональд, — но пока Ада излагает азы. Вскоре вы поймете почему. Прости, Ада.
— Продолжим. Чтобы получить множество Мандельброта, нужно сделать малюсенькое изменение. Давайте не просто возводить числа в квадрат. Будем возводить их в квадрат и складывать… возводить в квадрат и складывать. Кажется, особой разницы нет. Но такие действия открывают целую неизведанную вселенную…
Вернемся к единице. Возводим ее в квадрат. Получаем единицу. Складываем один и один. Получаем два.
Два в квадрате — четыре. Прибавляем изначальную единицу. Получаем пять.
Пять в квадрате — двадцать пять, плюс один — двадцать шесть.
Двадцать шесть в квадрате — шестьсот семьдесят шесть. Видите, что происходит? Числа растут с фантастической скоростью. Еще несколько итераций — и они невероятно распухнут. Даже компьютер с трудом справится с ними. А ведь мы начали с единицы! Таково первое важное отличие между множеством Мандельброта и множеством «К», ограниченным единицей.
Но если спуститься до числа намного меньше единицы — скажем, до ноль целых одной десятой… догадываетесь, что произойдет?
— Оно будет стремиться к нулю после первых циклов умножения и сложения.
Ада ответила ослепительной улыбкой, столь редко возникающей на ее губах.
— Обычно так и происходит. Иногда число держится около небольшой фиксированной величины. В любом случае оно находится внутри множества, как в ловушке. И снова все числа плоскости делятся на два класса. Но на этот раз граница посложнее окружности.
— Позвольте вмешаться, — едва слышно сказал Дональд, чем заслужил сердитый взгляд Эдит. Но нахмуренные брови жены его не остановили. — Я спрашивал у людей: каковы, по их мнению, будут очертания линии. Большинство поставило на нечто вроде овала. Но ни один не додумался до верного ответа. Ладно, ладно, леди! Больше не буду прерывать нашего оратора!
— Вот первое приближение, — продолжила Ада, одной рукой перебирая клавиши, а другой подхватив непослушного щенка. — Вы его сегодня уже видели.
На плоскости возникли знакомые Брэдли очертания пруда Мандельброта. Однако теперь картина оказалась намного более детальной. Справа располагалась самая крупная фигура, похожая на сердечко. Ее едва касался маленький кружок, а к последнему прижимался кружочек поменьше. Влево уходила узкая спица, заканчивающаяся на цифре два по оси х.
Теперь Брэдли видел, что главные фигуры словно обросли («Будто камни ракушками», — подумал он) мириадами крошечных кружочков. От многих ракушек расходились в стороны короткие извилистые линии. Рисунок был намного сложнее орнамента прудов в саду. Он выглядел странно, интригующе, но не красиво. Однако Ада и Эдит смотрели на картину зачарованно, с восторгом. Брэдли их восторга не разделял.
— Это полное множество без увеличения, — сказала Ада почти шепотом. Голос ее звучал не так уверенно, как раньше. — Даже при таком масштабе вы видите, насколько оно отличается от простой, имеющей нулевую толщину, окружности, ограничивающей множество «К». Увеличенная до бесконечности, она все равно останется линией — и только. А граница множества Мандельброта пушистая. В ней нескончаемое число деталей. Можно войти в любую, приближать сколько угодно — и всегда найдете что-то новое и неожиданное. Вот, смотрите!
Изображение увеличилось; зрители нырнули в просвет между главной кардиоидой и примыкающим к ней кругом. «Очень похоже на раскрывающуюся застежку-молнию, — отметил Брэдли. — Только очертания у ее зубчиков очень уж необычные».
Сначала зубчики походили на крошечных слонят, размахивающих хоботочками. Потом хоботы мутировали в щупальца. Затем на щупальцах выросли глаза. Дальше, по мере приближения картинки, глаза превратились в черные водовороты бесконечной глубины…
— Сейчас изображение увеличено в несколько миллионов раз, — прошептала Эдит. — Начальный график по масштабам уже больше Европы.
Они проносились вдоль водоворотов, огибали таинственные острова, окруженные коралловыми рифами. Мимо горделиво плыли флотилии морских коньков. В центре экрана появилась крошечная черная точка. Скоро она выросла, и в ней проступили знакомые черты. Еще несколько секунд — и возникла точная копия первоначального множества.
«Здесь мы вошли, — решил Брэдли. — Или нет?» Он сомневался. Глаз улавливал едва заметные различия, но родственное сходство прослеживалось явно.
— Теперь, — продолжила Ада, — изначальная картинка размером с орбиту Марса, а это мини-множество гораздо мельче атома. Но в нем столь же много деталей. И так — до бесконечности.
Увеличение прекратилось. На миг возникло ощущение, будто в пространстве замерло кружево, сотканное из замысловатых петель и завитков. Затем — словно на кружево опрокинули коробку с красками — одноцветное изображение вспыхнуло яркими красками и стало столь ослепительно красивым, что Брэдли ахнул от изумления. Картинка начала уменьшаться. Цвета в микроскопической вселенной постоянно менялись. Никто не произнес ни слова, пока на экран не вернулось изначальное множество Мандельброта — зловеще-черное, очерченное узкой границей золотого пламени и зазубренными голубыми и лиловыми протуберанцами.
— Откуда взялись цвета? — спросил Брэдли, отдышавшись. — Сначала их не было.
Ада рассмеялась.
— Вы правы. На самом деле это не части множества. Но разве они не великолепны? Компьютер по моей команде может окрасить график как угодно.
— Тем не менее цвета не бессмысленны, — пояснила Эдит — Попробую пояснить их значение. Представляете, как картографы размещают оттенки коричневого и зеленого между контурными линиями, подчеркивая разницу в высотах?
