Мартин Гарднер - Остров пяти красок

Гарднер Мартин

Остров пяти красок

Мартин ГАРДНЕР

ОСТРОВ ПЯТИ КРАСОК

В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин москательных товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галлонов краски мне нужно, он поднял в удивлении кустистые брови и присвистнул:

- Не иначе, как вы собрались выкрасить гору, мистер!

- Нет, - заверил я его, - не гору, всего лишь остров.

Клерк улыбнулся. Он думал, что я шучу, но я действительно собирался выкрасить целый остров в пять цветов: красный, синий, зеленый, желтый и пурпурный.

Для чего мне это понадобилось? Чтобы ответить на этот вопрос, мне придется вернуться на несколько лет назад и объяснить, почему я заинтересовался проблемой "четырех красок" - знаменитой, тогда еще не решенной проблемой топологии. В 1947 г. профессор Венского университета Станислав Сляпенарский прочитал в Чикагском университете цикл лекций по топологии и теории относительности. Я в то время был преподавателем математического факультета Чикагского университета (теперь я уже доцент). Мы подружились, и мне выпала честь представить его членам общества "Мебиус" в тот вечер, когда он прочитал свою сенсационную лекцию о "нульсторонних поверхностях". Читатели, следившие за научными достижениями Сляпенарского, должно быть, помнят, что он вскоре после этого скончался от сердечного приступа в начале 1948 г.

Проблема четырех красок была темой моей докторской диссертации. Еще до визита Сляпенарского в США мы обменялись с ним несколькими письмами, обсуждая различные аспекты этой трудной проблемы. Гипотеза о четырех красках утверждает, что для правильной раскраски любой карты (при которой любые две сопредельные страны, имеющие общий отрезок границы, будут выкрашены в различные цвета, и две страны не считаются сопредельными, если их границы имеют лишь одну общую точку) достаточно четырех красок. Страны на карте могут быть любых размеров и самых причудливых очертаний. Число их также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые высказана одним из создателей топологии, Мебиусом, в 1860 г., и, хотя над решением ее бились лучшие умы в математике, ее не удавалось ни доказать, ни опровергнуть [рассказ написан в 1952 г.; положительное решение проблемы четырех красок было найдено в 1978 г.].

По странному стечению обстоятельств проблема четырех красок была решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 г. Р.Дж.Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 г. Филип Франклин доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.

Открытие Сляпенарским нульсторонних поверхностей возымело далеко идущие последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело подлинный переворот в исследованиях по проблеме четырех красок. Как сейчас вижу мощную фигуру Сляпенарского, который, улыбаясь и теребя бородку, говорит: "Дорогой Мартин, если история топологии чему-нибудь и учит, то только тому, что следует ожидать самых неожиданных и удивительных связей между, казалось бы, совершенно не связанными между собой топологическими проблемами".

Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 г. свою известную работу с опровержением "доказательства" Хивуда (полагавшего, что для правильной раскраски карты плоскости необходимо и достаточно пяти красок). По всеобщему убеждению топологов, для правильной раскраски плоскости или сферы достаточно четырех красок, но в свете новейших достижений становится ясно, что от строгого доказательства такого утверждения мы в настоящее время находимся дальше, чем когда-либо.

Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне довелось завтракать в университетском клубе "Четырехугольник" с профессором Альмой Буш. Альма - один из ведущих наших антропологов и, несомненно, самая красивая женщина во всем университете. Хотя ей уже под сорок, выглядит она молодо и весьма женственна. Глаза у нее светло-серые, и когда Альма о чем-то думает, то имеет обыкновение чуть-чуть их щурить.

Альма только что вернулась из экспедиции на небольшой остров, расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной кромки африканского материка. Она возглавляла группу студентов-антропологов, изучавших нравы и обычаи пяти племен, населявших остров. Племена эти представляли огромный интерес для антрополога, так как их обычаи варьировались в необычайно широких пределах.

- Остров разделен на пять областей, - сообщила мне Альма, вставляя сигарету в длинный мундштук из черной пластмассы.

- Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамошних нравов. Общность границ позволяет племенам поддерживать некое единство культур. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?

Я застыл, так и не донеся вилку до рта, и медленно положил ее на стол.

- Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого просто не может быть.

Альма была уязвлена:

- Чего не может быть?

- Пяти племен, имеющих общие границы. Это противоречит знаменитой проблеме четырех красок.

- Противоречит чему?

- Проблеме четырех красок, - повторил я. - Есть такая проблема в топологии. Хотя она никем не доказана и не опровергнута, никто не сомневается, что она верна.

Я принялся концом ложки чертить на скатерти, пытаясь объяснить Альме, в чем здесь дело.

Альма быстро схватила общую идею.

- Может быть, у островных племен другая математика? - высказала она предположение, щурясь от дыма сигареты.

Я покачал головой.

- Математика, дорогая моя, едина для всех культур. Дважды два всегда четыре, даже в Африке.

Альма не разделяла моего мнения. Она сказала, что в математическом мышлении первобытных обществ имеются весьма значительные культурные "вариации". Лично ей известно, добавила она, одно племя, стоящее на крайне низком уровне развития, члены которого считают, что если к двум лодкам прибавить две лодки, то неизменно получится пять лодок.

- Значит, они просто не умеют считать, - заметил я.

- Так, как ты, - добавила Альма. В ее серых глазах прыгали смешинки.

- Видишь ли, Альма, - сказал я, когда мы приступили к малиновому компоту, - если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь, на пять областей, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими областями, то я начинаю верить в математические способности твоих островитян. Нет ли у тебя карты острова?

Альма покачала головой:

- Топографические съемки острова никогда не проводились. Надеюсь, нам удастся положить его на карту по возвращении.