Анатолий Шибанов - Александр Михайлович Ляпунов

Такова уж особенность любого теоретического объекта в механике, что вопрос о его возможности должен решаться дважды. Сначала нужно доказать его физическую правдоподобность, осуществимость. Ведь силы, действующие на частицы вращающейся жидкости, могут не позволить им сложиться в грушевидную фигуру. Поэтому фигура должна быть прежде всего равновесной. В работах Ляпунова и Пуанкаре этот вопрос был разрешен. Теперь наступил черед другому вопросу: удержится ли жидкость в такой фигуре продолжительный срок? Не эфемерна ли, не мимолетна возникшая игрою механических сил «груша»? Ведь какие бы вещественные объекты ни измыслило человеческое сознание, в природе могут встретиться только те из них, которые устойчивы. Например, воображение с легкостью нарисует карандаш, стоящий на острие строго вертикально, и математик без труда отобразит в своих уравнениях это равновесное положение. Но в действительности никакой карандаш на острие не устоит. Неустойчивость переводит мысленно возможное явление в разряд нереальных, недействительных.

Реальная вращающаяся жидкость принимает только устойчивую форму равновесия в отличие от математического своего образа, который только теоретически мыслим и существует лишь в знаках и символах математики. Случайно или преднамеренно надавив резиновый мячик, можно его деформировать: сплющить или вмять с какого-то боку. Но стоит исчезнуть посторонней, внешней силе, и он снова сделается круглым. Потому что сфера — его устойчивая форма равновесия. Не бывает туго надутых резиновых шаров с вмятинами и уплощениями. Быть может, не бывает в природе и грушевидных фигур вращающейся жидкой массы? Чтобы ответить на такой вопрос, необходимо исследовать устойчивость «груши».

Пуанкаре рассмотрел вопрос об устойчивости грушевидной формы, но всего лишь в первом приближении. Известный в будущем немецкий ученый Карл Шварцшильд, защищавший в 1896 году докторскую диссертацию на тему «Теория равновесия однородной вращающейся жидкой массы Пуанкаре», показал, что нельзя судить об устойчивости «груши», не имея более точного решения. Справедливость его критики признал и сам Пуанкаре. Тогда-то и обратился Дарвин к французскому коллеге с просьбой помочь ему отыскать более точное, второе приближение. Пуанкаре был увлечен другими научными проблемами, потому ограничился тем, что опубликовал общие формулы для расчетов. Произведя с их помощью в высшей степени сложные и громоздкие вычисления, Дарвин пришел к выводу, что грушевидная фигура устойчива. Торжеству его не было границ: наконец-то математические расчеты подтвердили выдвинутую им космогоническую гипотезу! Свои результаты незамедлительно опубликовал он в статье «О грушевидных фигурах равновесия вращающейся жидкой массы», вышедшей в 1903 году. Она-то и попалась на глаза Ляпунову, известив его о том, что еще одно заинтересованное лицо активно занялось той же задачей, над которой ломал он голову.

Надо было поспешить с изданием своих результатов и Ляпунову. В статье «Об одной задаче Чебышева», помещенной в «Записках Академии наук» 1905 года, кратко изложил он достигнутое к той поре. Упомянув о предыдущей своей работе по фигурам равновесия неоднородной жидкости, Александр Михайлович подчеркнул преемственность между двумя большими и независимыми его исследованиями. Успешное решение задачи Клеро-Лапласа позволило использовать тот же метод для задачи Чебышева и доказать «с полной строгостью существование тех фигур равновесия, которые в течение столь долгого времени были известны лишь в первом приближении».

Так решена была наконец задача Чебышева: среди фигур равновесия вращающейся жидкости в самом деле отыскались неэллипсоидальные, в том числе грушевидные. Но, доказав математически осуществимость грушевидных форм, Ляпунов категорически отверг возможность встретить их в реальной действительности. Для этого им недоставало весьма важного, можно сказать, наипервейшего качества — устойчивости.

Вывод Ляпунова ошеломил зарубежных ученых. Только что Дарвин, опираясь на формулы Пуанкаре, доказал устойчивость грушевидной фигуры, а математик из далекого Петербурга настаивает на прямо противоположном. В самой точной из наук, где, казалось бы, гарантированы объективность и однозначность результатов, сложилась нетерпимая ситуация: расчеты двух видных исследователей совпали с точностью до «наоборот». Причем в буквальном смысле. Ведь в качестве критерия устойчивости выступала некая математическая величина, которую требовалось подсчитать. Покажут вычисления, что она положительна, значит, грушевидная фигура устойчива. Если же в итоге всех выкладок признают ее отрицательной, ни о какой устойчивости не может быть и речи. И вот Дарвин получает эту величину со знаком «плюс», а Ляпунов — со знаком «минус». Есть от чего прийти в недоумение ученому люду!

Никому и в голову не приходило обвинить таких знаменитостей в неумении считать, хотя выкладки требовались на редкость трудоемкие и головоломные. Достаточно сказать, что Ляпунов проводил некоторые вычисления с точностью до четырнадцатого десятичного знака! Оба академика — и русский, и английский — уже зарекомендовали себя предыдущими своими математическими трудами. Но кто-то же из них ошибался, раз результаты их взаимно исключали друг друга? А может быть, неверны формулы Пуанкаре? Нет, репутация французского математика исключительно высока, чтобы бросить ему такой упрек. Да и не представляло особого труда убедиться в правильности опубликованных им выводов. И Дарвин, ни минуты не сомневаясь в справедливости формул, к которым он прибегнул, берется еще раз перевычислять величину, от значения которой зависел окончательный ответ. Затратив уйму сил и времени, снова пришел он к заключению, что она положительна. Убежденность его в своей правоте едва ли можно было теперь поколебать.

Не меньшее основание для уверенности имел Ляпунов. «Получив… результат, противоположный результату Дарвина, я обратился к проверке своих вычислений, — писал он. — Я выполнил это с большим старанием, переделывая вычисления несколько раз, но не нашел какой-либо заметной погрешности. Я должен, следовательно, заключить, что именно мой результат является верным». В отличие от английского коллеги Александр Михайлович не просто отвергает его результат, а указывает причину разительного несогласия их выводов. «Что касается моего расхождения с Дж. Дарвином, то его легко объяснить; оно проистекает от того, что наши вычисления основывались на совершенно различных формулах», — заметил Ляпунов в статье 1905 года.

Высчитываемая величина выступала у Дарвина и у Ляпунова в совершенно несхожих обличьях. Английский ученый отыскивал ее в виде суммы бесконечного количества слагаемых, каждое из которых меньше предыдущего, предшествующего ему. Ничего необычного в таком приеме нет. При решении теоретических и прикладных задач математики давно уже использовали бесконечные ряды. Как бы ни была необъятна совокупность составляющих их членов, в результате сложения получается конечная величина. К примеру, неограниченно продолжающийся ряд дробей 1/2, 1/4, 1/8 и так далее, в котором каждое последующее число вдвое меньше предыдущего, дает в сумме единицу. Разумеется, Дарвин не мог бессчетно раз складывать, чтобы произвести в абсолютной цельности величину, служившую ему критерием устойчивости. Он удовольствовался приближенными расчетами, суммировав некоторое количество первых слагаемых, самых больших. Так и поступают обыкновенно в приблизительных решениях. Ведь вклад неучтенных, отброшенных членов в общий, совокупный итог довольно незначителен. В приведенном выше ряду сумма первых трех чисел равна 7/8, то есть близка к единице, и только 1/8 приходится на долю нескончаемой вереницы дробей, не принятых во внимание.