Владимир Карцев - Ньютон

Во времена Ньютона математики делать этого не умели.

Но как мог Архимед делить шар на две части, объёмы которых находились бы в заданном отношении?

— Немыслимо, чтобы Архимед решил эту задачу случайно, — рассказывал на лекциях Барроу, большой знаток древних геометров, — решить её можно только угадыванием, месяцами чёрной и неблагодарной вычислительной работы. Он, несомненно, пользовался каким-то аналитическим методом, который скрывал…

Ньютон пока изучал, как проводится вычисление площади различных фигур. Площадь круга, например, можно очень грубо оценить, вычисляя площадь вписанного в него квадрата. Эта «площадь круга» будет, конечно, меньше площади круга. Зато отпала необходимость вычислять площадь, ограниченную кривой линией. Площадь вписанного восьмиугольника уже ближе к площади круга, вычислить её тоже можно. Площадь 128-угольника практически точно соответствует площади круга. Площадь круга можно вычислить, и вполне точно, если поставить задачу найти предел — площадь вписанного в круг бесконечно-угольника, сторона которого бесконечно мала. Точно так же можно вычислить площадь, ограниченную любой кривой линией, — если заменить её множеством прямоугольников или других легко вычисляемых фигур с бесконечно малой стороной.

Именно этой тропой шёл профессор геометрии Оксфордского университета Джон Валлис, один из основателей Королевского общества, автор книги «Арифметика бесконечного», работ по теории удара, приливов и отливов, звука и тяготения; а кроме того — сотрудник кромвелевской разведки, отгадчик секретных шифров роялистов (нужды практики не оставляли математику в покое).

Валлис шёл от Кавальери — он превращал сложные кривые в ступенчатые пирамиды. Иногда ему удавалось подобрать законы, управляющие высотой ступенек, и выразить их с помощью бесконечных рядов. (Он и не подозревал тогда, что занимается примитивным интегрированием.)

Валлис широко использовал метод интерполяции — поиск неизвестных членов математического ряда, лежащих между известными. Изучая один из валлисовских примеров — частный случай бинома (1–x)², - Ньютон сообразил, что между прямоугольными «ступеньками» можно расположить промежуточные прямоугольники, площади которых образуют с первыми геометрическую прогрессию. Это был, по существу, путь к «биному Ньютона».

Разработка в 1664–1665 годах биномиального разложения для какого угодно целого положительного показателя была крупнейшим научным достижением Ньютона, сравнимым по своему значению с открытием дифференциального и интегрального исчисления. Он сразу же находит для своего открытия выразительные применения. Записывает ряды для выражения сегмента и сектора круга, синуса, арксинуса, логарифмической функции. С помощью рядов Ньютон мог теперь изучать свойства функций, делать приближённые вычисления. В алгебре ряды были не менее важны, чем десятичные дроби в арифметике. Сам Ньютон говорил:

«Как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения можно с их помощью привести к бесконечному ряду дробей, при этом с небольшой затратой сил удаётся преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти непреодолимыми».

Ньютон стал главным создателем исключительно продуктивного метода разложения в ряды и расплодил их громадное разнообразие там, где раньше была лишь геометрическая прогрессия и несколько других частных видов.

Как-то, уже во время чумы 1665 года, когда он поселился в Вулсторпе, он решил, как обычно, прогуляться по большой северной дороге. Задумавшись, он отмахал по мощёному тракту несколько миль и не заметил, как очутился уже в Будби Паньель, где настоятелем служил член Тринити-колледжа Гемфри Бабингтон, его бывший «хозяин». Бабингтон встретил Исаака тепло, обласкал, вёл с ним учёные разговоры. В результате Ньютон прожил у маститого кембриджца несколько дней и за эти дни полностью навёл в своей голове порядок относительно рядов. Здесь, в Будби, было спокойно. Здесь была богатая библиотека, где ничто не мешало читать и размышлять, не опасаясь упрёков в безделии и бесконечных понуканий. Именно здесь Ньютон решил опробовать свой биномиальный ряд для вычисления площади гиперболы. Формула получалась очень простая. Она позволяла определять площадь с любой точностью, зависящей лишь от терпения я усидчивости, — она определялась тем количеством членов ряда, которым довольствовался искатель площади гиперболы.

Ньютон просидел всё утро, добавляя и добавляя новые члены ряда и повышая точность. Десять знаков, двадцать, тридцать… Когда перед Ньютоном было уже 52-значное число, его позвали обедать. И хорошо сделали, поскольку где-то на сороковых знаках он допустил ошибку.

Хотя позднее Ньютон создал общие методы разложения в степенные ряды, он до старости сохранил особую любовь и привязанность к простому биномиальному ряду.

…Новое увлечение и новая чёрная бакалавровская мантия с белым воротничком всё больше отдаляли его от детской мечты — жениться когда-нибудь на мисс Сторер. Маленькая фигурка её, смутные воспоминания о проведённых вместе детских годах меркли в его воображении перед пронзительным светом математической истины. Сейчас он чувствовал себя способным решить проблемы, которые веками волновали человечество. При одной мысли об этом он ощущал глухой и мощный ток крови, бешеное нетерпение и ненасытную страсть первооткрывателя. Конечно, он останется в Кембридже навсегда. Потом он станет магистром, затем членом колледжа, может быть, профессором. Он знал, что членам колледжа запрещено жениться. Ньютон не жалел об этом. Его любовью стала математика…

Часть III

ЛЕГЕНДА О ЯБЛОКЕ

Немало ещё людей, которые знают о Ньютоне лишь то, что связано с рассказом о яблоке.

ЧЁРНАЯ СМЕРТЬ

Царица грозная, Чума

Теперь идёт на нас сама

И льстится жатвою богатой;

И к нам в окошко день и ночь

Стучит могильною лопатой…

Что делать нам?

Комету 1664 года наблюдал не только Ньютон. Её видела вся Англия. Незадолго до рождества мелкий клерк, сохранивший в самые тяжкие дни верность Стюартам и за это награждённый Карлом II должностью крупного чиновника Адмиралтейства, — Сэмюэль Пепис, сидя в уютной гостиной своего роскошного лондонского дома, записал в дневнике — позже столь знаменитом: «Здесь много говорят о том, что по ночам видна комета». И ещё через несколько дней: «Сейчас необычайно холодно. Наступил долгий морозный сезон. Комета видна очень ясно».