Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

«Теория Терстпона, получившая название гипотезы геометризации, описывает все возможные трехмерные многообразия и, таким образом, является очень важным обобщением гипотезы Пуанкаре. Доказательство гипотезы Терстона влекло за собой доказательство проблемы Пуанкаре. Доказательство теорий Терстона и Пуанкаре "открывало огромные перспективы", как признал Барри Мазур, математик из Гарвардского

-56-

университета. Последствия этих доказательств для других областей науки могут быть неочевидны еще долгое время, но, без сомнения, для математиков эти задачи имели фундаментальное значение. "Эти задачи — что-то вроде теоремы Пифагора XX века, — добавил Мазур. — Они оказывают огромное влияние на математику"».

Диалектический подход призывает к тому, чтобы найти концепт, обобщающий обе модели пространства. Базовая идея здесь была выдвинута именно Пуанкаре, который обосновал различие (и взаимосвязанность) между картезианской моделью пространства (трехмерная система) и моделью «живого» пространства, представленной в работах самого Пуанкаре (сферическая система). В частности, он дал собственное определение термина «точка пространства» для «живой» пространственной системы. Он показал точку пространства в качестве агента взаимодействий с другими предметами вокруг нее. Соответственно, как агент взаимодействий всякая точка пространства является одновременно и точкой времени, а потому должна быть оснащена собственной памятью.

Итак, было бы разумно заключить: точка пространства-времени — поскольку она является агентом собственных взаимодействий — действует под влиянием собственной памяти и поэтому считается «центром индетерминации» Вселенной. В то же время эта память — своеобразное проявление предшествующей истории агента, которая отсутствует для всех взаимодействий настоящего. Следовательно, память дает всякому агенту некоторую независимость от предметов и взаимодействий настоящего. Рассматривая ситуацию, мы можем заметить, что кроме причин и взаимодействий настоящего агент имеет и некоторые иные источники собственной активности. Иными словами, он имеет собственные источники активности, которые со стороны выглядят как дырки.

-57-

Обобщая сказанное, предположим, что точка пространства-времени имеет два онтологических измерения собственной активности.

• Одно измерение (сфера бытия) связано с влиянием его предшествующей истории; это измерение памяти, которое проявляется как дырка и является невидимой оснасткой активности «центра индетерминации».

• Второе измерение (сфера существования) связано с его взаимодействиями в настоящем; это измерение взаимодействий, и оно проявляется через активность материальных частиц, которые являются видимой оснасткой любой активности центра детерминации.

Рис. 21. Модельные переходы в центр индетерминации Вселенной Пуанкаре

Таким образом, в свете бытийного измерения пространство Вселенной будет проявляться как содержащее дырки, потому что любой предмет или фактор будут повернуты стороной своей памяти. В аспекте существования пространство Вселенной будет проявляться как содержащее материальные частицы, потому что любой предмет или фактор будут высвечены со стороны взаимодействий. В русле диалектики особенно важно подчеркнуть различие и взаимосвязь между обоими измерениями. В заключение своих логических построений профессор Дахин резюмирует, что теория глобаль-

-58-

ной эволюции Вселенной не может быть адекватной, если она будет по-прежнему оснащена только одним концептуальным измерением.

Итак, перед нами абстрактная геометрическая или, точнее, топологическая проблема, которая определенно сильно повлияла на умонастроения великого французского метафизика (так со времен Аристотеля называют ученых, занимающихся философией науки). Это было какое-то особое влияние, заставившее Пуанкаре связать в один тугой узел логических построений конвенционализм, релятивизм и топологию иных измерений. Что предстало перед изумленным взором ученого, когда ему удалось распутать эту научную проблему?

Это было какое-то новое миропонимание, настолько необычное, что оно и стало причиной знаменитого «молчания Пуанкаре»…

Однако проблема Пуанкаре при всей своей загадочности предполагала еще и решение, и оно тоже открывало нечто принципиально новое в облике нашего Мира…

Моррис Клайн в свое время писал, что, хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла доступ к некоторым тайнам природы и этим позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность многого достичь. Сколь ни искусственно, а иногда и сказочно математическое описание, в нем есть своя мораль. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам. Заложены ли регулярные зависимости, выражаемые физическими законами, в самой природе и мы лишь открываем их или их изобретает и применяет к природе разум ученого — в любом случае ученые должны надеяться, что их неустанный труд способствует более глубокому проникновению в тайны природы.

-59-

Именно здесь сходятся первые три пазла нашей исторической физико-математической головоломки: физический релятивизм, алгебраическая топология и философия конвенционализма. Все вместе это должно было вызвать какой-то прорыв в миросозерцании ученого. Прорыв настолько впечатляющий и открывающий такие горизонты познания, что Пуанкаре надолго погрузился в глубокое молчание, обдумывая новые перспективы постижения окружающей реальности.

-60-

Часть 2. Загадка гения Перельмана

-61-

«Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта».

«Когда гениальный ученый привносит математический порядок и ясность в хаос чувственных восприятий, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими истинной природы окружающего нас Мира… Невозможно, однако, поверить, что эти порядок и организация, вносимые математической теорией, не являются отражением некой реальной структуры».