Лев Генденштейн - Алиса в стране математики
Всё изменилось, когда математические знания египтян и вавилонян попали к грекам — именно в Древней Греции и родилась настоящая математика!
Древнеегипетский папирус. Так выглядели учебники, по которым четыре тысячи лет назад обучали в школах египетских писцов
А так выглядел сам египетский писец. В Древнем Египте писцы пользовались большим почетом, потому что они умели не только читать и писать, но и считать! Внизу изображен «письменный прибор» египетского писца
На таких глиняных табличках писали древневавилонские «школьники». Точнее, не писали, а выдавливали особой палочкой — поэтому исправлять ошибки в таких «тетрадках» было очень удобно
Это «страница» из древневавилонского «учебника математики»: в нем было около сорока «страниц» — огромных глиняных таблиц. Древневавилонские «книги» не боялись огня — наоборот, их надо было обжечь, чтобы глина затвердела
Любимым вопросом древних греков был вопрос «почему?», а с этого вопроса начинается любая наука. Греки начали доискиваться: почему надо применять в расчетах то или иное правило? Всегда ли оно даёт правильный результат? Как доказать правильность? Древнегреческий учёный Фале́с, который жил за шестьсот лет до нашей эры, первым ввел в математику доказательства, и поэтому его считают первым математиком в истории. Однажды греки решили подарить мудрейшему из людей золотую чашу, и этим мудрейшим был избран именно Фалес. Но Фалес передал подарок другому мудрецу, которого он считал более достойным, тот — третьему, и так чаша обошла по кругу семерых мудрецов, вернувшись в конце концов снова к Фалесу.
В искусстве рассуждений греки превзошли всех, кто жил до них, и очень многих из тех, кто жил после. Умению рассуждать и доказывать мы учимся у древних греков до сих пор: древнегреческая математика — единственная наука, которая прошла испытание тысячелетиями.
Когда греков завоевали римляне, развитие математики надолго остановилось — на целую тысячу лет! Возродили математику арабы, которые изучили и перевели на арабский язык книги древнегреческих учёных. Кстати, у арабов был и выдающийся поэт-математик, звали его Омар Хайям. О некоторых его математических открытиях мы расскажем позже, а вот одно из его стихотворений*:
Мне мудрость не была чужда земная,Разгадки тайн ища, не ведал сна я.За семьдесят перевалило мне,Что ж я узнал! — Что ничего не знаю.
Однако вернемся к грекам — это они принесли в математику не только логику, но и воображение: они стали изучать числа и фигуры не только для «жизненных потребностей», но и просто потому, что это оказалось необычайно интересным. Так числа и фигуры начали жить в воображении математиков своей жизнью, и вот что самое удивительное: открытия, сделанные в воображаемом мире, помогали открывать законы окружающего мира! Итальянский учёный Галилей писал: «Великая книга природы может быть прочитана только теми, кто знает язык, на котором она написана, и язык этот — математика».
Древнегреческие учёные подробно изучили «конические сечения» — фигуры, которые получаются при пересечении конуса плоскостью (такое «сечение конуса» изображено на рисунке черным цветом). Никому из древних греков и в голову не приходило, что планеты, которые они видят на небе, движутся вокруг Солнца, описывая именно такие фигуры!
Бывало, что проходили тысячелетия, прежде чем открытие математиков находило применение. Вот, наверное, самый поразительный пример. За несколько веков до нашей эры греческие учёные Евклид, Архимед и Аполлоний из «чистого интереса» изучили свойства эллипса — фигуры, похожей на сплюснутую окружность. Прошло больше полутора тысяч лет, и немецкий астроном Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца именно по эллипсам — тем самым «древнегреческим» эллипсам! А через пятьдесят лет после Кеплера «чисто математическая» теория древних греков помогла английскому учёному Ньютону открыть закон всемирного тяготения, «управляющий» движением планет.
А вот ещё один пример. В начале XIX века трое учёных: русский математик Лобачевский, венгр Больяи и немец Гаусс независимо друг от друга придумали (именно придумали!) необычную геометрию, настолько необычную, что Гаусс, который считался тогда «королем математиков», не решился даже обнародовать свою работу. Лобачевский же посвятил разъяснению своей геометрии всю жизнь, но так и не получил признания учёного мира — уж очень странной казалась эта «выдумка». Однако «обмана» в ней не было: геометрия Лобачевского не содержала противоречий! Идеи Лобачевского развил немецкий учёный Риман (он родился как раз в том году, когда Лобачевский представил свою работу для опубликования!). Риман показал, что можно построить бесконечно много разных геометрий, среди которых — и привычная «школьная» геометрия (ее называют «евклидовой» по имени древнегреческого математика Евклида), и геометрия Лобачевского.
А в начале XX века оказалось, что риманова геометрия имеет самое непосредственное отношение к реальному миру: согласно теории относительности Эйнштейна геометрия нашего мира не «евклидова», а именно «риманова»!
И, наконец, третий пример. Тот самый Гильберт, с которого мы начали свой рассказ, в самом начале XX века придумал совсем уж странную вещь: он изобрел пространство, в котором не три измерения, как в нашем обычном пространстве (длина, ширина и высота), а бесконечное число измерений! Такое даже представить невозможно!
В нашем пространстве три измерения, и поэтому любой настоящий предмет имеет длину, ширину и высоту
Однако через четверть века оказалось, что без гильбертова пространства (так его назвали) было бы невозможно описывать мир атомов. А поскольку все мы состоим из атомов, значит, в каждом из нас на самом деле существует это удивительное пространство с бесконечным числом измерений! «Я развил свою теорию из чисто математических интересов, — вспоминал потом Гильберт, — абсолютно не подозревая, что позже она найдет применение в физике».
НЕБЫЛИЦА О ФАЛЕСЕ ИЗ МИЛЕТА, ЗНАМЕНИТОМ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОМ МУДРЕЦЕ, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ПРЕДСКАЗАЛ СОЛНЕЧНОЕ ЗАТМЕНИЕ
Помнят люди историю эту,Хоть прошло с той поры много лет.Шёл однажды Фалес из Милета,А, быть может, шагал он в Милет.
Размышлял он о тайнах природы,О строеньи Земли и небес —Ведь из всех мудрецов всенародноСамым мудрым был признан Фалес.
Предсказал он недавно затменье,И теперь каждый день его ждал...Так, задумавшись, он не заметил,Что в колодец случайно упал.
— Я слыву мудрецом не напрасно! —Он вскричал. — Знаю я, почемуСреди дня наше солнце погасло,И весь мир погрузился во тьму!
НАСТОЯЩЕЕ И ВООБРАЖАЕМОЕ
Слова мистера Доджсона о математике не шли из головы у Алисы. На следующий день она попросила у Лорины её учебник математики и удобно устроилась на диване вместе с учебником и кошкой Диной.
— Сейчас мы посмотрим, что это за выдумка без обмана! — сказала Алиса и раскрыла книгу.
Увы — эта книга оказалась не похожей на книгу сказок!
Она вообще не была похожа ни на одну из книг, которые Алиса читала до сих пор.
— Что толку в книге, если буквы в ней не всегда складываются в слова? — удивлённо думала Алиса. — Всё это действительно похоже на выдумку... Но о чём же эта выдумка? Я вижу здесь только числа и фигуры... Впрочем нет, тут есть и портреты! Какие красивые имена: Пифагор, Евклид, Архимед... Здесь написано, что это великие математики... Значит, они и придумали всю эту историю о числах и фигурах? Но как можно проверить, что в этой выдумке нет обмана? Этого я себе даже не представляю!
Алиса посмотрела на Дину и увидела, что та уставилась в книгу немигающими глазами.
— Кажется, ты тоже не всё тут понимаешь, — сказала Алиса. — Однако тут есть и слова... попробуем их прочитать...
Первыми ей попались на глаза слова «параллельные прямые». Слово «параллельные» Алиса прочла только со второй попытки (такое слово стоило запомнить, чтобы при случае удивить им кого-нибудь в разговоре), зато слово «прямые» было совсем простым и понятным! И к тому же Алиса увидела рисунок, под которым была подпись: «параллельные прямые».
— Это же просто линии, похожие на рельсы! — воскликнула Алиса. — Но зачем для таких простых вещей нужны такие непростые слова?
Она стала читать дальше и обнаружила, что простое слово «прямая» не такое уж простое: оказывается, так называется бесконечная прямая линия, то есть прямая линия, у которой нет концов!
