Лев Генденштейн - Алиса в стране математики
— Тогда тут нет противоречия, — кивнул головой мистер Доджсон.
— А жеребёночек? — чуть не плача, спросила Эдит. — Ты о нём совсем забыла!
— Жеребёнок сам нашел свинушки, — сказала Лорина.
— Только не говори, что он сам их и жарил! — предостерегла Лорину Алиса. — Ведь сковороды у него не было!
— Грибы изжарил рыцарь, — объяснила Лорина.
— Неужели у рыцаря была с собой сковорода? — удивилась Эдит.
— У него был шлем! — воскликнула Лорина. — Рыцарь изжарил грибы в шлеме и дал их жеребёнку. Тот сразу выздоровел, рыцарь взял его под уздцы, и они пошли дальше...
Какое-то время все сидели молча; был слышен только мерный звук вёсел.
— Придумывать сказку ещё интереснее, чем её слушать, — сказала вдруг Лорина.
— И не так уж трудно придумать необычную историю без противоречий, — заметила Алиса.
— А мне кажется, что если бы в нашей истории было какое-нибудь противоречие, она стала бы ещё интересней, — произнёс мистер Доджсон.
— Почему? — спросила Эдит.
— Потому что это противоречие надо было бы найти! — ответил мистер Доджсон.
— Может быть, — согласилась Лорина. — Но ведь в нашей истории противоречий нет.
— Есть, — неожиданно признался мистер Доджсон. — По моей вине в нашу историю вкралось по крайней мере одно противоречие.
— Как же мы его не заметили? — удивилась Алиса.
— Сейчас мы его найдём, — сказала Лорина. — Вы помните, о чём рассказывал мистер Доджсон? — обратилась она к сестрам.
— Он говорил, что дракон стал знаменитостью и к нему водят экскурсии... — начала вспоминать Алиса.
— Ещё мистер Доджсон говорил, что дракона кормят туристы, — добавила Эдит.
— Во всем этом пока нет никаких противоречий, — рассудила Лорина. — Если дракон стал знаменитостью, к нему должны водить экскурсии. А если к нему водят экскурсии, то туристы кормят дракона, потому что туристы всегда кормят животных. Правда, дракон не совсем обычное животное...
— Может быть, его кормят не туристы, а туристами? — предположила Эдит.
— Тогда получилось бы противоречие! — возразила Алиса. — Если бы туристы не возвращались из экскурсий, они не могли бы рассказывать о драконе, и он перестал бы быть знаменитостью!
— Действительно, — согласилась Эдит.
— Значит, противоречие в чём-то другом, — заключила Алиса. — Послушай, — обратилась она к Лорине, — ты, кажется, о чём-то спрашивала мистера Доджсона?
— Я спрашивала, сколько у дракона голов, — сказала Лорина, — и мистер Доджсон ответил, что ровно триста.
— Может быть, в этом есть какое-то противоречие? — спросила Алиса. — Хотя вряд ли: махнул рыцарь сто раз мечом, вот и стало у дракона триста голов...
— С каждого взмаха рыцарь отрубал дракону одну голову? — уточнила Лорина.
— Да, — кивнула Алиса.
— Махнул сто раз мечом... — задумчиво произнесла Лорина. — Но после этого у дракона будет не триста голов...
— А сколько же? — удивилась Алиса. — Ведь после каждого взмаха появляются три новых головы... Ой! Одна голова-то слетает!
— Вот-вот, — подхватила Лорина. — И поэтому после каждого взмаха у дракона становится не на три головы больше, а только на две!
— Ну и пусть! — махнула рукой Алиса. — Значит, чтобы у дракона стало триста голов, рыцарю придётся махнуть мечом не сто раз, а... триста разделить на два... сто пятьдесят раз! Для него это всё равно!
— Если рыцарь махнет мечом сто пятьдесят раз, у дракона станет на триста голов больше, чем было вначале! — возразила Лорина. — А ведь у него с самого начала уже было три головы. Значит, у дракона станет не триста голов, а триста три!
— Так сколько же раз рыцарю надо махать мечом, чтобы у дракона стало ровно триста голов? — нетерпеливо спросила Эдит.
— Сейчас подсчитаем, — сказала Лорина. — У дракона вначале было три головы, а в конце стало триста, значит, у него добавилось двести девяносто семь голов... После каждого взмаха меча число голов увеличивалось на два... Чтобы узнать, сколько раз рыцарю пришлось махать мечом, надо двести девяносто семь разделить на два... Но двести девяносто семь на два не делится!
— Значит, трехсот голов у дракона быть не может! — воскликнула Алиса. — Вот оно — противоречие!
— Вы нашли его довольно быстро, — признал мистер Доджсон.
— А вы его довольно ловко запрятали, — ответила Лорина любезностью на любезность. — Но как вы успели так быстро сосчитать, что у дракона не может быть трёхсот голов — ведь на мой вопрос вы ответили сразу!
— Почти сразу, — напомнил мистер Доджсон. — Но я почти ничего и не считал.
— Вы просто угадали? — спросила Эдит.
— Ну нет, — улыбнулся мистер Доджсон. — Я могу наверняка сказать, что у этого дракона не может быть, например, миллиона голов. Или, скажем, трёх миллиардов восьмисот тридцати двух миллионов семисот сорока одной тысячи четырёхсот восьмидесяти шести голов!
— Вот это да! — поразилась Эдит.
В наступившей тишине стало слышно, что Алиса бормочет: «Пять, семь, девять...»
— Что ты считаешь? — удивилась Лорина.
— Я считаю, сколько голов становилось у дракона, когда рыцарь отрубал ему одну голову за другой, — объяснила Алиса.
— До миллиардов ты будешь считать очень долго, — забеспокоилась Эдит, но Алиса продолжала:
— ...одиннадцать, тринадцать, пятнадцать...
— Хватит! — воскликнула вдруг Лорина. — До миллиардов можно не считать: и так уже всё понятно!
— А мне ещё не совсем всё понятно, — призналась Алиса, прерывая счет. — Я заметила только, что получаются нечётные числа...
— В этом всё и дело! — сказала Лорина. — Ведь ты начала с трёх и прибавляла каждый раз по два.
— Значит, у дракона не может быть чётного числа голов! — догадалась Алиса. — Так вот почему мистеру Доджсону ничего не надо было считать — он мог просто назвать любое чётное число, и противоречие готово!
— Так я и сделал, — признался мистер Доджсон, и все рассмеялись.
— А знаете, откуда берутся драконы с семью головами? — спросила вдруг Эдит. — Это драконы, у которых вначале было три головы, но две из них уже отрубили...
— А драконы с тремя головами — это те, у которых сначала была только одна голова, — добавила Алиса.
— Но откуда же тогда берутся драконы с одной головой? — озадаченно спросила Эдит, но вопрос её остался без ответа: лодка пристала к берегу и все начали выходить.
Мистер Доджсон предложил зайти к нему — он хотел угостить девочек чаем и заодно показать им свои фотографии (в те времена фотографии были ещё редкостью, но мистер Доджсон уже успел стать страстным фотографом). Во время этого краткого визита произошел ещё один любопытный разговор.
Перед самым уходом Алиса подошла к большому книжному шкафу, который стоял слева от камина, и, склонив голову, попыталась прочесть на корешках названия книг. Однако у неё ничего не получилось, хотя названия были написаны английскими буквами: дело в том, что слова на корешках книг были почти все незнакомы Алисе!
— О чём эти книги? — спросила Алиса у мистера Доджсона.
— Это книги по математике, — ответил он.
— А что такое математика?
— Это... — в глазах у мистера Доджсона мелькнула улыбка. — Это большая выдумка без обмана!
— Это всё выдумка?! — поразилась Алиса, глядя снизу вверх на длинные полки, уставленные толстыми книгами.
Мистер Доджсон проводил девочек домой и, вернувшись, сел записывать сказку, рассказанную им во время прогулки.
«Я просидел целую ночь, записывая в большую тетрадь все глупости, какие запомнились», — рассказывал он потом.
ГДЕ И КОГДА ЗАРОДИЛАСЬ МАТЕМАТИКА
Однажды немецкого математика Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
— Он стал поэтом, — ответил Гильберт. — Для математика у него было слишком мало воображения.
Такой ответ мог бы удивить кого угодно, только не математика: любой математик знает, что воображение — главное качество математика (тот, кто этого не знает, не математик!). Однако это не единственное качество — математик должен ещё уметь чётко рассуждать, чтобы доказать, что в его выдумке нет «обмана», то есть нет противоречий.
Как же возникла математика — наука, в которой удивительным образом соединяется то, что кажется несовместимым — яркое воображение и строгая логика? (Логикой называют правила рассуждений.)
Начиналась математика в древнем мире с расчётов, нужных для строительства, торговли и земледелия. До наших дней сохранились древнеегипетские папирусы и древневавилонские глиняные таблички с чертежами и вычислениями. Им около четырёх тысяч лет! Один из папирусов начинается словами: «Наставление, как достигнуть знания всех непонятных вещей, всех тёмных тайн». Однако никакой науки там ещё нет — действительно, разве можно назвать наукой большое число примеров, как вычислить площадь поля для посева или количество камней для постройки пирамиды? Рассуждений при этом не приводилось, вместо этого писали: «Делай то же самое при любом подобном случае». Здесь не было ни полёта фантазии, ни доказательств.
