Лев Генденштейн - Алиса в стране математики
Взялся за эту задачу и другой греческий математик — Архит. Он был не только выдающимся математиком, но и хорошим полководцем, однако даже математик-полководец не смог победить задачу об удвоении куба: хотя он и нашёл очень красивое решение, но оно требовало не только циркуля и линейки. К многочисленным заслугам Архита принадлежит, между прочим, и спасение Платона от рабства — как видите, жизнь древнегреческих учёных была не такой уж безмятежной: им приходилось не только прогуливаться с учениками по садам!
Второй из этих кубов имеет примерно вдвое больший объем, чем первый: если бы это были сосуды для воды, то во второй из них поместилось бы воды вдвое больше, чем в первый
Примерно в то же время (в IV веке до нашей эры) «удвоением куба» занимался ещё один древнегреческий математик — Менехм. О нём существует красивая легенда. Однажды Александр Македонский обратился к Менехму:
— Я хочу изучить всю премудрость греческой науки. Но скажи: нет ли для царей более короткого пути к геометрии?
— К геометрии нет царских путей, — ответил царю учёный. — Для всех — одна дорога!
Эта беседа настолько замечательна, что её приписывают ещё одному царю и ещё одному учёному: царю Птолемею и математику Евклиду, который действительно собрал «всю премудрость греческой науки» в большую книгу, которую он назвал «Начала» (Евклид уже тогда понимал, что это только начало, однако до сих пор в школах всего мира геометрию изучают почти по Евклиду!).
Среди греческих учёных, занимавшихся задачей об удвоении куба, был и Эратосфен, который первым придумал, как «отсеивать» простые числа от составных. Этот способ называется «решето Эратосфена» и используется до сих пор, хотя вычисления проводятся сегодня на электронно-вычислительных машинах. Эратосфен, кстати, был не только превосходным математиком, но и неплохим спортсменом — олимпийским чемпионом по пятиборью! Но и олимпийский чемпион не смог решить задачу об удвоении куба.
Эта задача «дразнила» математиков больше двух тысяч лет, и, наконец, Декарт заподозрил неладное: употребив сам немало сил на безуспешные попытки «удвоения куба», он предположил, что эта «простая» задача вообще не имеет решения. Однако только через два века после Декарта другой французский математик, Ванцель, смог строго доказать, что задача об удвоении куба действительно неразрешима! Как и в задаче о квадратуре круга, безупречное доказательство отсутствия решения и стало настоящим решением задачи.
Третьей знаменитой задачей древности была задача о «трисекции угла»: как с помощью циркуля и линейки разделить любой угол на три равные части? Эта задача продержалась также больше двух тысячелетий и «победил» её тот же самый Ванцель — доказал, что она неразрешима.
Этот угол разделен примерно на три равные части
«Три знаменитые задачи древности» стали знаменитыми не только потому, что каждая из них оказалась крепким орешком: они сослужили добрую службу математике, потому что при попытках их решения рождались новые области этой науки.
А сейчас мы расскажем о задаче, отсутствие решения у которой изменило весь ход развития математики.
Вот эта задача: как измерить точно длину любого отрезка?
Начать, конечно, надо с выбора «единицы измерения», то есть отрезка, длина которого принята за единицу. А потом надо откладывать эту «единицу» вдоль того отрезка, который мы хотим измерить. Если, например, единичный отрезок умещается в нашем отрезке ровно три раза, мы говорим, что длина отрезка равна трём единицам.
А если три «единицы» не умещаются, а двух — мало? Ничего страшного: надо только вспомнить о дробных числах! Разделим нашу «единицу» на равные части и возьмём новую меру — часть единицы. А поскольку единичный отрезок можно делить на любое число равных частей, то, казалось бы, всегда можно найти такую малую долю единицы, которая умещалась бы на нашем отрезке целое число раз.
По крайней мере так казалось древним грекам. Более того, они были в этом совершенно уверены! Ведь они считали, что целые числа лежат в основе всего мироздания — помните слова Пифагора: «число есть начало всех вещей»?
И надо же: случилось так, что именно Пифагор открыл, что это неверно! Из знаменитой теоремы Пифагора, которую изучают сегодня во всех школах, следовал поразительный вывод: если сторону квадрата принять за единицу, то диагональ этого же квадрата измерить точно невозможно, потому что не существует таких долей единицы, которые укладываются на диагонали целое число раз, какими бы малыми ни были эти доли!
Открытие Пифагора заставило учёных задуматься: можно ли делить отрезок на всё меньшие и меньшие части без конца? Через две тысячи лет эти размышления привели к великим открытиям, о которых мы скоро расскажем.
НЕБЫЛИЦА О ПИФАГОРЕ, КОТОРУЮ ТРУДНО ОТЛИЧИТЬ ОТ БЫЛИ
Говорят, что АполлонаОн любимым сыном был,Что всю мудрость ВавилонаОн познал, когда там жил,
Что он слышал, как планетыПеснь поют в тиши ночей,Что учил он: числа — этоЕсть начало всех вещей,
Что медведицу словамиМог он перевоспитать,Мог беседовать с быками,Сны надёжно толковать,
Что в пещере целый месяцОн совсем один прожил,Что любил число он десять,А семнадцать — не любил,
Что остановить он речьюМог разбег морских валов,Что река ему навстречуПоднялась из берегов...
Где тут быль, где небылица —Неизвестно до сих пор.Но в преданьях говорится,Что таков был Пифагор.
КАК СЪЕСТЬ ЦЕЛЫЙ ТОРТ?
Шляпник сразу же стал вытаскивать блюдо с тортом из-под Сони. Однако Заяц вцепился в блюдо с другой стороны и стал тянуть в противоположную сторону. Блюдо рывками ездило по столу туда-сюда, и всё это время Соня сквозь сон быстро ел торт. Наблюдая эту сцену, Алиса смеялась до слёз.
Когда Шляпнику удалось, наконец, вырвать блюдо, оно было таким чистым, будто на нём никогда и не бывало шоколадного торта! Зато Соня был весь в шоколаде и сладко облизывался, продолжая спать.
Шляпник посмотрел на пустое блюдо и увидел в нём себя — полированное блюдо отражало, как зеркало!
— Привет, дружище! — приподняв цилиндр, обратился Шляпник к своему отражению, и оно ответило ему тем же. — Теперь ты застрял тут надолго — может быть, навсегда: похоже, что шесть часов так и не наступят...
— Мне кажется, шесть часов тут ни при чём, — вмешалась Алиса в разговор Шляпника с его отражением. — Ведь для того, чтобы наступил любой момент времени, должны пройти все предыдущие моменты, а их бесконечно много...
— В том-то и дело! — подхватил Шляпник. — В одной только секунде и то бесконечно много моментов! Как же они все могут пройти?
— Но время всё-таки идёт... — попыталась возразить Алиса.
— Оно стоит! — вскричал Шляпник, показывая на часы. — Разве ты не видишь, что оно стоит?
— А Соне всё-таки достался целый торт одному! — в наступившей тишине заметил Заяц.
— Как ты можешь думать о каком-то торте, когда время остановилось! — упрекнул его Шляпник.
И тут у Алисы родилась удивительная мысль.
— Если бы время остановилось из-за того, что в любом промежутке бесконечно много моментов, Соня не смог бы съесть весь торт! — воскликнула она.
— Ты шутишь? — печально спросил Шляпник. — При чём здесь торт?!
— Когда Соня ел торт, — начала объяснять Алиса, — он должен был сначала съесть половину торта, потом половину оставшейся половины, потом — половину половины половины... и у него всегда должно было что-то оставаться — ведь делить пополам можно без конца!
— Это и правда похоже чем-то на последний момент! — оживился Шляпник.
— Но Соня съел торт до конца! — напомнил Заяц, показывая на сверкающее блюдо.
— До конца... — задумчиво подтвердил Шляпник и посмотрел на блюдо с обеих сторон. — Как же у него это получилось? — спросил он у своего отражения, но оно ответило ему тем же вопросом. — Послушай! — толкнул он Соню. — Как ты ухитрился съесть весь торт?
Соня приоткрыл один глаз, но ничего не ответил.
Тогда Заяц взял чайную ложку, обмакнул её в вазочку с вареньем и начал старательно писать что-то вареньем на скатерти. Он писал в одну строку, и эта строка становилась всё длиннее и длиннее.
Какое-то время Шляпник молча наблюдал за Зайцем, но, наконец, не выдержал:
— Что ты делаешь? — крикнул он. — Это же последнее варенье!
