Лев Генденштейн - Алиса в стране математики
— Это были очень длинные полчаса, — перебил его Шляпник. — Чайник уже стоял на столе, но без Сони мы не начинали пить чай!
— Зато как только Соня пришёл, я сразу же налил тебе первую чашку чая, — продолжал Заяц. — Ты выпил её так быстро, что я себе и налить не успел...
— А потом, потом? — торопил Шляпник.
— Без двадцати шесть я налил тебе вторую чашку чая, — напомнил Заяц. — Её ты тоже выпил сразу...
— Значит, чай был не очень горячий, — заметил Шляпник.
— Это из-за Сони! — стал оправдываться Заяц. — Пока мы его ждали, чай остыл...
— Вспоминай дальше! — нетерпеливо перебил Шляпник.
— Третью чашку я налил тебе без десяти шесть, — продолжил воспоминания Заяц.
— Тебе что, чаю жалко? — с подозрением спросил Шляпник.
— Я просто вспоминаю... — робко сказал Заяц.
— Вспоминай о чём-нибудь другом! — предложил Шляпник.
— Но другого ничего не было, — пролепетал Заяц. — Ты только пил чашку за чашкой...
— Хватит! — крикнул Шляпник и ударил по столу. Несколько чашек упали и разбились.
Алиса посмотрела на черепки вокруг стола и спросила у Зайца:
— А где вы берёте новые чашки?
— Не отвлекайся на ерунду! — раздражённо заметил Шляпник. — Что было дальше? — обратился он к Зайцу.
— Без одной минуты шесть я налил тебе четвёртую чашку... — с опаской произнёс Заяц.
— Четвёртую чашку я выпил залпом! — неожиданно просиял Шляпник. — Это я хорошо помню: чай стал совсем холодным! Но когда я поставил чашку на стол, шести часов ещё не было — часы ещё не били!
— Не было, не били, — сразу согласился Заяц. — Но до шести часов оставалась всего одна секунда: часы как раз начали хрипеть...
Все невольно снова прислушались: часы по-прежнему хрипели.
— А что было после того, как я поставил чашку на стол? — после некоторого молчания спросил Шляпник. — Ведь до шести часов оставалась ещё целая секунда!
— По-моему, ничего больше уже не было, — тихо сказал Заяц и начал снова залезать под стол.
— Значит, по-твоему, — так же тихо спросил Шляпник, в упор глядя на Зайца, — без одной секунды шесть — это последний момент перед шестью часами?
Заяц задрожал так сильно, что чашки на столе задребезжали.
— Перестань дрожать! — заорал Шляпник, отчего чашки задребезжали ещё сильнее, а несколько чашек снова скатились со стола. — Ведь был ещё момент, когда до шести часов оставалось полсекунды — разве ты этого не помнишь?
— П-п-помню, — раздался уже из-под стола голос Зайца, — я помню, что этого я уже не помню...
— Даже если ты этого не помнишь, такой момент всё равно был! — продолжал бушевать Шляпник.
— Если уж на то пошло, — сказал Заяц, высунув уши из-под стола, — так и этот момент не был последним перед шестью часами! Полсекунды можно ещё раз разделить пополам — значит, был и такой момент, когда до шести часов оставалась только четверть секунды...
— Последним был тот момент, когда я заснул! — объявил вдруг Соня.
— Твой последний момент наступит сейчас! — снова рассвирепел Шляпник, схватил Соню и так широко размахнулся, будто собрался забросить его на Луну.
— Что вы делаете? — не выдержала Алиса.
— Не отвлекайся, — строго сказал ей Шляпник и посадил Соню на чайник. — Думай о последнем моменте и ни о чём больше!
— Я буду думать о том, о чём я захочу! — заявила Алиса.
— А о чём ты хочешь думать? — поинтересовался Шляпник.
— Я... я ещё не решила, — растерялась Алиса.
— Тогда почему бы тебе не думать о последнем моменте? — спросил Заяц, вылезая из-под стола.
— Не буду! — упрямо сказала Алиса.
— Не будешь? — нахмурившись, переспросил Шляпник.
— Не буду, — повторила Алиса. — Пусть он хоть всю посуду перебьёт! — подумала она про себя.
— Ладно, — неожиданно согласился Шляпник. — Но только давай честно: раз ты сказала, что не будешь думать о последнем моменте, так не думай! Обещаешь?
— Обещаю, — сердито буркнула Алиса. Наступило молчание. Шляпник тихонько барабанил пальцами по столу, Заяц медленно мешал ложечкой чай, а Соня, сидя на чайнике, клевал носом.
Алиса честно пыталась выполнить своё обещание — не думать о последнем моменте перед шестью часами. Но удивительное дело — чем больше она старалась об этом не думать, тем настойчивее это лезло ей в голову!
— Какой же момент, действительно, последний? — крутилось у Алисы в голове помимо её воли. — Ведь даже когда до шести часов остаётся всего одна миллионная доля секунды, её снова можно разделить пополам — значит, есть и такой момент, когда до шести часов остаётся одна двухмиллионная доля секунды... но и этот момент не последний: делить пополам можно без конца... Делить без конца! — воскликнула она про себя, и у неё вырвалось:
— Последнего момента нет вообще, потому что делить пополам можно без конца! Получается, что у этой загадки просто нет отгадки!
И тут Алиса увидела, что Заяц и Шляпник ужасно расстроились: Заяц готов был заплакать, а Шляпник утратил весь свой пыл и смотрел перед собой пустыми глазами.
— Но почему вас так огорчает, что последнего момента перед шестью часами нет? — удивилась Алиса.
— Неужели ты не понимаешь? — грустно сказал Шляпник. — Ведь если последнего момента нет, значит, шесть часов не наступят никогда...
— Почему? — спросила Алиса.
— Потому что они могут наступить только после этого момента, а его-то как раз и нет! — ответил Шляпник.
Тут Соня качнулся чуть сильнее и... свалился с чайника головой в торт!
КАК РЕШАЮТСЯ ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЙ
Казалось бы, кому могут быть интересны загадки без отгадок, или, говоря языком математиков, задачи, у которых нет решений? Однако именно такие задачи приковывали внимание математиков в течение тысячелетий: эти непокорные задачи были вызовом человеческому уму, и поэтому они интриговали математиков так же сильно, как сыщиков — тайны загадочных преступлений.
Вот история трёх знаменитых задач, пришедших из глубокой древности.
Первая задача называется «квадратура круга»: как построить круг и квадрат одинаковой площади, пользуясь только циркулем и линейкой без делений?
Примерно так выглядят круг и квадрат одинаковой площади — чтобы закрасить их одним и тем же слоем краски, понадобится одинаковое количество краски
Условие задачи кажется настолько простым, что за неё берётся даже тот, кто только начал знакомиться с геометрией, однако решить её не удалось даже величайшим математикам! Правда, Архимед придумал способ, как можно подойти к точному решению сколь угодно близко.
Шли века и тысячелетия, но задача о квадратуре круга оставалась непобедимой. И только в конце XIX века немецкий математик Линдеман нашёл неожиданное решение этой задачи: он строго доказал, что с помощью только циркуля и линейки построить круг и квадрат одинаковой площади невозможно! Это доказательство произвело на математиков такое сильное впечатление, что Линдемана нарекли «победителем задачи о квадратуре круга». Такой титул говорит, что строгое доказательство отсутствия решения математики считают тоже решением: ведь решить задачу — это найти все решения или доказать, что решений нет!
Вторая знаменитая задача называется «удвоение куба». О происхождении этой задачи существует даже легенда.
Однажды на острове Делос в Эгейском море вспыхнула эпидемия чумы. В те времена перед чумой были бессильны даже мудрые греки. Единственное, что они могли сделать — обратиться за помощью к богам. Однако беседовать с богами напрямую мог не каждый древний грек — этим занимались только «оракулы», то есть «предсказатели судеб». И вот оракул, посоветовавшись с богом искусств Аполлоном, объявил, что для спасения от чумы надо удвоить золотой жертвенник Аполлону. Этот жертвенник имел форму куба, и жители Делоса поспешили как можно скорей отлить из золота ещё один такой же куб и поставили его поверх первого.
Однако чума не прекратилась.
— Надо удвоить жертвенник, сохранив его форму, — объяснил оракул. — Новый жертвенник должен быть тоже кубом, но чтобы найти размеры нового куба, Аполлон разрешает вам пользоваться только циркулем и линейкой!
Бедные делосцы, не сумев сами решить эту задачу, обратились к знаменитому философу Платону (он так уважал математику, что над входом в сад, где он, прогуливаясь, занимался со своими учениками, велел начертать: «Пусть не входит сюда не знающий геометрии»). Однако и Платон не смог решить задачу об удвоении куба.
