БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (НЕ)

  О. И. Завьялов.

Неопределённые выражения

Неопределённые выраже'ния в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:

  К Н. в. относятся:

причём

причём

где e = 2,71828... — неперово число . Указанные типы Н. в. символически обозначают так:

Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение

не стремится ни к какому пределу

  Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда «раскрытием неопределённости», или нахождением «истинного значения» Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.

  Так, например, сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1—x, получаем

поэтому

  Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

если f (x ) и g (x ) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x 0 , за возможным исключением самой точки x 0 , и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

  Иногда

вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.

[f (x ) = e x + e -x , g (x ) = e x — e -x ]при x ® 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как

то

  Н. в. видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Н. в.

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием

где

Наконец, если через u (х ) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u (x ) = g (x ) lnf (x ), то u (х ) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как {f (x )} g (x ) = eu (x ) , то, найдя предел u (х ) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для x x при x ® 0 имеем

и, следовательно,

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.

Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра'л, общее выражение первообразной для подынтегральной функции f (x ); обозначается

Например,

См. Интегральное исчисление .

Неопределённых коэффициентов метод

Неопределённых коэффицие'нтов ме'тод, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

(А + В + С ) х2 + (В - С ) х - А = 3x 2 - 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

  Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2B + 3C = 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D = —1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = —1 /2 , С = 0, D = 1 /2 , т. е.

  В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, —A - B = 1, A + C = — 1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С .

  Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c2 x 2 + c3 x 3 + c4 x 4 + c5 x 5 + ×××.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y " — выражение

2c 2 + 3·2с3 х + 4·3с4 х2 + 5·4с5 х3 + ×××,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c 2 + 3·2c 3 x + (1 + 4·3c 4 ) x 2 + (c 2 + 5·4c 5 ) x 3 + ××× = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c 2 = 0; 3·2с 3 = 0; 1 + 4·3c 4 = 0; c 2 + 5·4c 5 = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,