БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ЧИ)
Развитие идей А. Туэ (построение вспомогательного многочлена с высокой кратностью корня) и Д. Пойа (США) (целая аналитическая функция, принимающая в целых положительных точках целые значения и растущая медленнее 2g ½S ½ , g < 1, является многочленом) привело А. О. Гельфонда и нем. математика Т. Шнейдера (1934) к решению 7-й проблемы Гильберта, утверждающей трансцендентность чисел вида ab , a ¹0,1, b — алгебраическое число степени ³ 2. К. Зигель доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций типа ex (т. н. Е -функции) в алгебраических точках.
В алгебраической Ч. т. доказан ряд теорем, обобщающих теоремы теории целых чисел на целые числа алгебраических числовых полей; некоторые из них привели и к чисто арифметическим результатам, сюда, в частности, относится теория представлений чисел полными и неполными разложимыми формами (простейшей из таких задач является уравнение Пелля). Развита также теория решений сравнений от двух и более переменных, из которой, например, следует, что сравнение
F (x , у ) º 0 (mod р ),
где F — абсолютно неприводимый многочлен, имеет решений (теорема Хассе — Вейля).
Начиная с конца 40-х гг. и по настоящее время (1978) в Ч. т. появилось много работ в самых различных направлениях. Исследования ведутся как в классических областях, так и в новых. Советскими математиками Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым полностью исследовано диофантово уравнение x 3 — ау 3 = 1 (1940). В теории дзета-функции Римана А. Сельберг (Норвегия, 1942) доказал, что конечная доля всех нулей z(s ) лежит на критической прямой Res = 1 /2 ; Ю. В. Линник доказал, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии с разностью k не превосходит kc , с — постоянная, и разработал дисперсионный метод (1958—1961), с помощью которого вывел асимптотическую формулу для числа представлений натурального N суммой простого и двух квадратов (проблема Харди — Литлвуда); этим же методом он получил асимптотическую формулу для числа решений неопределённого уравнения вида р — а = ху , р £ N , ху £ N , а — фиксированное целое (проблема простых делителей Титчмарша). Метод тригонометрических сумм Виноградова получил дальнейшее развитие в работах самого И. М. Виноградова и его учеников. Безуспешные попытки доказать гипотезу Римана привели к ряду методов, которые обходят её и в то же время позволяют решить определённые задачи Ч. т., выводимые из этой гипотезы. Сюда относится проблема оценки разности p n+1 — рп = Dn , которая сведена к оценке числа нулей дзета-функции в прямоугольниках вида s £ Res £ 1, s > 1 /2 , ½Im s ½£ Т. Из таких «плотностных» теорем и границы нулей x(s ), полученной на основе метода Виноградова, следует, что p n+1 — рп = О (рп 0,6 ). К подобного рода результатам пришли и в теории распределения простых чисел в арифметических прогрессиях и её применениях к аддитивным задачам с простыми числами.
В теории трансцендентных чисел английский математик К. Рот (1955) усилил метод Туэ и доказал, что алгебраическое число не может быть приближено рациональной дробью P/Q существенно точнее, чем Q ¾2 ¾ e , e>0 — произвольно мало; английский математик А. Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраических чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения
a0 xn + a1 xn ¾1 y +... + an—1 xy n—1 + ап уn = А
(указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n 2 + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел p+е и постоянной Эйлера и мн. др.).
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, М., 1976; Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.—Л., 1936; Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937.
А. А. Карацуба.
Числа заполнения
Чи'сла заполне'ния в квантовой механике и квантовой статистике, числа, указывающие степень заполнения квантовых состояний частицами квантово-механической системы многих тождественных частиц . Для системы частиц с полуцелым спином (фермионов) Ч. з. могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых, для системы частиц с целым спином (бозонов) — любые целые числа: 0, 1, 2,... Сумма всех Ч. з. должна быть равна числу частиц системы. С помощью Ч. з. можно описывать и числа элементарных возбуждений (квазичастиц ) квантовых полей; в этом случае их сумма не фиксирована. Средние по статистически равновесному состоянию Ч. з. для идеальных квантовых газов определяются функциями распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна [см. Статистическая физика , формула (19)]. Понятие Ч. з. лежит в основе метода квантования вторичного , который называется также «представлением Ч. з.».
Д. Н. Зубарев.
Численное решение уравнений
Чи'сленное реше'ние уравне'ний, нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с любой наперёд заданной точностью. К Ч. р. у. сводятся многие задачи математики и её приложений. Хотя общие методы Ч. р. у. появились лишь в 17 в. (И. Ньютон ), но ещё Леонардо Пизанский (начало 13 в.) вычислил корень уравнения х 3 + 2x 2 + 10x = 20 с ошибкой, меньшей чем В конце 16 в. И. Бюрги (Швейцария) вычислил корень уравнения 9 — 30x 2 + 27x 4 — 9x 6 + x 8 = 0, определяющего длину стороны правильного девятиугольника. Приблизительно в то же время Ф. Виет дал метод вычисления корней алгебраических уравнений, сходный с Ньютона методом .
Численное решение алгебраических уравнений разбивается на следующие этапы: 1) выделение кратных корней, сводящее задачу к решению уравнения с простыми корнями; 2) определение границ, между которыми могут лежать корни уравнения; 3) разделение корней, т. е. указание промежутков, каждый из которых содержит не более одного простого корня (см. Штурма правило ); 4) грубое определение приближённого значения корня, выполняемое графически или каким-либо иным способом (например, при помощи изучения перемен знака левой части уравнения); 5) вычисление корня с заданной точностью. Наиболее распространёнными методами для этого являются методы ложного положения, метод Ньютона, Лобачевского метод , последовательных приближений метод , разложение в ряды и т.д.
При численном решении трансцендентных уравнений ограничиваются этапами 4 и 5. О численном решении дифференциальных уравнений см. в ст. Приближённое решение дифференциальных уравнений.
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 2 — Алгебра, М.—Л., 1951; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.
Численные методы
Чи'сленные ме'тоды в математике, методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции — записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п. Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Т. о., в Ч. м. числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке (см. Таблицы математические ); операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке. Ч. м. сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин. Разработка новых Ч. м. и применение их в ЭВМ привели к возникновению вычислительной математики .
