БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ЛО)
Т. о., программа Л. «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.
Ю. А. Гастев.
Логическая операция
Логи'ческая опера'ция в ЦВМ, поразрядная операция над кодами произвольной длины по правилам алгебры логики. Л. о. производится над всеми цифрами кодов одна и та же, при этом каждая цифра результата зависит не более чем от одной цифры одного или нескольких кодов. В ЦВМ Л. о. выполняются в большинстве случаев над двоичными кодами. К числу основных и наиболее распространённых Л. о. относятся операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности (см. табл. при ст. Алгебра логики). Эти Л. о. достаточно просто реализуются физическими элементами ЦВМ, а более сложные Л. о. могут быть программно сведены, например, только к трём Л. о.: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Примеры использования Л. о.: отрицание — инвертирование при преобразовании прямого кода в обратный или дополнительный код; конъюнкция — логическое умножение для «выделения» любых частей кода; дизъюнкция — логическое сложение при формировании новых команд из нескольких других команд; эквивалентность — равнозначность при определении поразрядного тождества кодов. К Л. о. часто относят также сдвиг, проверку равенства числа нулю, проверку знака числа, получение абсолютной величины числа и др. В универсальных ЦВМ Л. о. обеспечивают управление ходом выполнения программ и взаимосвязь в программах, формирование новых команд, перекодирование данных, поиск информации по логическим шкалам и др. Л. о. являются основой для создания специализированных логических цифровых машин, для решения задач анализа переключательных схем с целью их минимизации и задач синтеза, т. е. составления и подбора элементарных схем, посредством которых можно создавать более сложные схемы для реализаций заданных функций.
А. В. Гусев.
Логическая семантика
Логи'ческая сема'нтика, раздел логики, посвященный изучению значений и смыслов понятий и суждений и их формальных аналогов — интерпретаций выражений (термов и формул) различных исчислений (формальных систем). Т. о., к задачам Л. с. в первую очередь относится уточнение понятий «значение», «смысл», «интерпретация», а в связи с этим и понятий «истинность», «определимость», «выразимость», «следование», «модель» и др. (вплоть до столь общих и первичных понятий, как «множество», «предмет», «соответствие»). Важные семантические проблемы возникают в связи с различием между содержанием и объёмом понятий, между смыслом и (истинностным) значением суждений. Свойства (например, равносильность, следование), связанные с содержанием понятий и смыслом суждений, называются интенсиональными; свойства, связанные с объёмом понятий и истинностным значением суждений, называются экстенсиональными. Суждения и понятия, интенсионально равносильные, равносильны и экстенсионально; обратное, вообще говоря, неверно (например, высказывания «Волга впадает в Каспийское море» и «2×2 = 4» равносильны экстенсионально, но не интенсионально; любая пара равносильных в обычном понимании суждений иллюстрирует предыдущее утверждение; см. ниже об аналитической и синтетической истинности).
Основное для Л. с. отношение между выражением и его интерпретацией при более детальном анализе оказывается не двухместным, а трёхместным: понятие интерпретации «расслаивается» на экстенсиональный и интенсиональный уровни. Следуя традиции, идущей от автора первых фундаментальных работ по Л. с. Г. Фреге, австрийского логика Р. Карнапа и современного американского логика А. Чёрча, каждому собственному имени (в широком смысле включающем, например, количественные числительные и любые существительные с определёнными артиклями или указательными местоимениями) сопоставляют, с одной стороны, обозначаемый (называемый) им предмет (иначе, денотат, или номинат), а с другой — выражаемый этим именем смысл (или концепт). Члены этого «семантического треугольника» определяются в первую очередь для естественных языков и только затем уже, с некоторыми ограничениями, переносятся на формализованные языки. Отношения между именем, денотатом и концептом, вообще говоря, не однозначны; так, имена-омонимы имеют несколько различных концептов, а одному и тому же концепту могут соответствовать различные имена-синонимы; неоднозначно и т. н. отношение называния между именем и денотатом (пример, восходящий к Фреге: имена «Утренняя звезда» и «Вечерняя звезда», имеющие общий денотат — планету Венера, но разные концепты). Однако концепт полностью определяет денотат (если, конечно, таковой существует; например, имя «Пегас» имеет смысл, но не имеет денотата). В отличие от естественных языков, формализованные языки строятся, как правило, таким образом, чтобы каждое имя имело в точности один смысл; синонимия же, напротив, сохраняется и в большинстве формализованных языков, причём синонимы, по определению, связываются отношением типа равенства (эквивалентности, тождества); устранение синонимии оказывается в ряде случаев принципиально невозможным ввиду отсутствия алгоритма установления тождества произвольных выражений («слов») в достаточно широком классе формализованных языков.
Основы систематического построения современной Л. с. заложены в работах А. Тарского, уделявшего главное внимание анализу и возможностям точного определения понятий «истина», «выполнимость», «определимость», «обозначение» и т.п. Оказалось, что все эти понятия определяются для формализованных языков средствами более богатых языков, играющих для первых («объектных», или «предметных», языков) роль метаязыков. (Для определения соответствующих понятий для неформализованных языков их следует прежде всего формализовать, после чего придерживаться той же схемы.) Метаязык может быть, в свою очередь, формализован, и для определения его семантических понятий (истины и др.) приходится подниматься ещё на один метаязыковый уровень и т.д. Смешение же языка и метаязыка (на любом уровне) неминуемо приводит к семантическим парадоксам.
Вслед за американским логиком У. ван О. Куайном различают свойства языковых выражений, характеризуемые в терминах произвольных интерпретаций (моделей) данного языка и инвариантные относительно перехода от одной интерпретации к другой, и языковые свойства, определяемые в терминах какой-либо одной интерпретации. Первый круг вопросов относят к теории смысла, второй — к теории референции (теории обозначения). Понятия смысла (концепта), синонимии, осмысленности, семантические следования относятся к теории смысла; эта область Л. с. находится по существу в самой начальной стадии развития. Теория референции, оперирующая понятиями истины (истинности), обозначения, именования и т.п., сравнительно богата результатами, из которых следует отметить теорему Тарского о неопределимости предиката истинности любой непротиворечивой языковой системы её собственными средствами. Значение теоремы Тарского, устанавливающей определённую ограниченность выразительных средств формальных языков, во многом аналогично роли знаменитой теоремы К. Гёделя [о принципиальной дедуктивной неполноте (см. Полнота в логике) достаточно богатых логико-математических исчислений] для метаматематики; сами конструкции доказательств обоих замечательных предложений обнаруживают глубокие аналогии, в совокупности же они дают весьма сильное орудие метаматематических доказательств (проблемы непротиворечивости, полноты и неполноты и др.).
Следуя традиции, идущей ещё от Г. В. Лейбница, предложения какого-либо языка, истинные во всех его моделях («во всех возможных мирах»), принято называть аналитически истинными (соответственно предложения, не истинные ни в одной модели, — аналитически ложными), в отличие от синтетически (или фактически) истинных предложений, истинность которых, так сказать, зависит от свойств «данного мира» (иными словами, это предложения, не являющиеся ни аналитически истинными, ни аналитически ложными: они выполняются в некоторых, но не во всех моделях данного языка). Для полных языков понятие аналитической истинности, носящее семантический характер, удаётся описать в чисто синтаксических терминах — через доказуемость. Для языков же неполных (а именно таковы все языки, представляющие наибольший интерес для науки) подобного сведения Л. с. к синтаксису непосредственно провести не удаётся.
