БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (АЛ)
Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий (см. Знаки математические ). Этот процесс шёл медленно и зигзагами, Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства, были подобные сокращения и у индийцев (5—7 вв.), но затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику средневекового Востока. Леонардо Пизанский (13 в.) — наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебраическими проблемами. Постепенно алгебраические методы проникают в вычислительную практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итальянские учёные вновь переходят к удобным сокращениям, например вместо слов «плюс» и «минус» стали употреблять латинские буквы p и t с особой чёрточкой сверху. В конце 15 в. в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки + и —, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.
Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов современной А. — употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этой реформы, окончательно закрепленной Ф. Виетом (конец 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают десятки частных правил вместо одного общего, Виет первый начал писать свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, I, ..., а известные — согласными В, С, D, .... Эти буквы он соединяет введёнными уже в то время знаками математических операций. Т. о. впервые возникают буквально формулы, столь характерные для современной А. Начиная с Р. Декарта (17 в.) для неизвестных употребляют преимущественно последние буквы алфавита (х, у, z ).
Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия — языка формул — были бы немыслимы блестящее развитие высшей математики начиная с 17 в., создание математического анализа, математического выражения законов механики и физики и т. д.
Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степеней. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних)не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). Решающий шаг — применение отрицательных чисел — был сделан индийскими математиками (10 в.), но ученые средневекового Востока не пошли по этому пути. С отрицательными числами свыклись постепенно; этому особенно способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Окончательно же отрицательные числа были приняты только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрическим представлением для построения аналитической геометрии.
Возникновение аналитической геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у древних греков, чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь, наоборот, алгебраические средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул. Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел см. в ст. Число . Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, например, квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже древнегреческие и среднеазиатские математики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближенного вычисления их; но взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение же комплексных или «мнимых» чисел относится к следующей эпохе (18 в.).
Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 в. А. сложилась приблизительно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему — извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, которые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, по существу сводившихся к уравнениям 1-й и 2-й степеней. Теперь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта «элементарная» А. применяется повседневно в технике, физике и др. областях науки и практики. Но содержание науки А. и её приложений этим далеко не ограничивается. Трудны и медленны были только первые шаги. С 16 в. и особенно с 18 в. начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она переживает новый расцвет.
На русском языке изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к началу 18 в., было впервые дано в знаменитой «Арифметике» Л. Ф. Магницкого , вышедшей в 1703.
Алгебра в 18—19 вв. В конце 17 — начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом был вызван развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием А. В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16—17 вв. способствовали зарождению взгляда на математические величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой — её функции.
А. и анализ развивались в 17—18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон . С другой стороны, А. принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера , работавшего тогда в Петербургской академии наук. Этот курс вышел сначала на русском языке (1768—69), а затем неоднократно издавался на иностранных языках. Отличие А. от анализа в 18—19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й половине 19 в. Н. И. Лобачевский , назвавший свою книгу «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834). А. занимается основными операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз.
Простейшим результатом умножения является одночлен, например 5a3 bx2 y. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом . Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, например x, то можно придать ему вид: a0 xn + a1 xn-1 + ... + an , где коэффициенты ao , a1 , . ...,an уже не зависят от х . Это — многочлен n-й степени (другое наименование — полином, целая рациональная функция). А. 18—19 вв. и есть прежде всего А. многочленов.
Объём А., т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, например, анализ перенял от А. её символику, без которой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример — Тейлора ряд . С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфическом виде (см. ниже — Современное состояние алгебры).
