Сима Крейнин - Как надо думать?

Коля и его жена любят желтый. Они взяли почитать «Сто лет одиночества».

Кривцовы работают программистами.

«Сто лет одиночества» была принесена парой, которая водит лады.

Вопрос:

Как зовут супругов в каждой паре, их фамилии, марки машин, какой цвет любят, какую книгу принесли, а какую взяли почитать, кем они работают?

Пересечения

Это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Метод Эйлера является незаменимым при решении таких задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Иностранные языки

В туристической группе было 24 человека. Шесть из них не знали ни одного иностранного языка. Из остальных тринадцать знали английский язык. Четыре туриста, которые знали английский, могли говорить и по-немецки.

Сколько туристов знали только немецкий?

Решение

Задача достаточно проста, ее можно решить арифметически.

(24 – 6) – 13 = 5

Ответ. 5 туристов знали только немецкий язык.

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок».

Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма.

Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма.

Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение.

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38– (11 +3 +1 +6 +2 +7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 +2 +1 +6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задачи для тренировки

1. Волшебные книги

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

2. Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

3. Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

4. Помогите разобраться

В классе 15 человек говорят по-английски, 20 – по-итальянски, 8 – по-немецки; 3 – по-немецки и по-английски; 5 – по-немецки и по-итальянски; 6 – по-итальянски и по-английски. Сколько человек в классе, если всеми тремя языками владеет 1 человек?

Взвешивания

Задачи на взвешивание – весьма распространённый вид математических задач.

В таких задачах требуется обнаружить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем сравнения между собой как отдельных предметов, так и целых групп.

Фальшивая монета

Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В нашем распоряжении лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.

Решение

Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся монеты и выявляем фальшивую (более легкую).

Если же одна группа из трех монет легче другой, значит именно в ней есть фальшивая монета. Из этой, более легкой группы кладем на весы две монеты и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшивая третья монета, а если нет, то та, которая легче.

Мешки с золотом

Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном – все фальшинвые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая – 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах.

Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты.

Мешки можно раскрывать и вытаскивать монеты

Решение

Пронумеруем мешки от 1 до 10. Вытащим из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее. Затем возьмем всю эту кучу монет и положим на весы. Если бы они все были настоящие, то общий вес составил бы 275 грамм (т. к. мы вытащили в общей сложности 55 монет).

Но в одном из мешков были фальшивые монеты. Если это был первый мешок, то вес будет на 1 грамм меньше (т. к. мы взяли оттуда 1 монету). Если фальшивые были во втором мешке, то на 2 грамма меньше. И так далее.

101 монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет: возможны 2 варианта.

Вариант 1. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку, вместо одной из имеющихся там:

а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;

б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.

Вариант 2. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:

а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;

б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

Задачи для тренировки

1. Буратино

У Буратино есть 27 золотых монет. Известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

2. Ткань

Эта задача, хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как у других задач этого раздела. Как от куска ткани, площадью в 2/3 кв. метра, отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

3. Развесить чай

Как развесить 20 кг чая в 10 коробок по 2 кг в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 кг?

4. Спасение семейства

Король, его сын-принц и дочь-принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно.

Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение.

Естественно, как только одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Однако, если разница в весе превышала 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз.

Единственное, что помогло бы пленникам бежать, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов – его можно было использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?