Алексей Цвелик - Жизнь в невозможном мире: Краткий курс физики для лириков
Так вот, условием самой возможности знаний является относительная регулярность нашего мира, основанная на том, что хаотические системы занимают в нем относительно небольшое место. Для дотошного читателя добавлю: положение это в классической механике оправдано теоремой Колмогорова-Арнольда-Мозера, которая утверждает, что большинство механических систем, хотя и не являются интегрируемыми (то есть такими, где уравнения движения могут быть решены аналитически), большое количество времени проводят вблизи траекторий интегрируемых систем.
Следующим утверждением, которое тоже, по-видимому, принадлежит пифагорейской школе, является то, что наиболее адекватным языком, на котором можно обсуждать законы природы, является язык математики. Многие высказывания о природе, выразить которые на обыкновенном языке чрезвычайно сложно, становятся совершенно ясными и прозрачными, будучи сформулированы математически. Наверное, читатель слышал, что Пифагор заметил сходство между законами, управляющими движением планет, и законами музыки. Для человека, математически мыслящего, это сходство очевидно, он как бы слышит это, отсюда и выражение «музыка сфер». Гармония небесного свода подобна гармонии музыкальной. Так же как для восприятия последней у человека должен быть «слух» (что есть не только, да и не столько уши), так и для восприятия законов природы нужен некий внутренний орган, «умный слух».
Нетривиальность ситуации в том, что математика является «абстрактной» наукой. Когда в разговорной речи употребляют термин «абстрактный», то имеют в виду что-то, не имеющее отношения к реальной жизни. И конечно же, с математикой это в 90 % случаев так. То есть можно заниматься ею самой по себе, совершенно не обращая внимания на происходящее вокруг и не имея в виду, что результаты твоих исследований кому-нибудь, кроме твоих коллег, пригодятся. У математики есть свои внутренние проблемы, она движима своими внутренними импульсами. И вдруг!.. И вдруг результаты этих кабинетных изысканий оказываются совершенно необходимыми при изучении природы, того мира, от которого математик отвлекся и затворился. Меня лично это всегда глубоко потрясало, и без преувеличения скажу, что мой непреходящий интерес к физике основан в большой мере на этом.
Примеров того, как абстрактные идеи переставали быть абстрактными и становились в высшей степени конкретными, можно приводить бесконечно. Ну, возьмем хотя бы историю самого понятия числа. Начиналась она как раз с другого конца, то есть теория шла за практикой. Сначала думали, что есть только целые числа и дроби, потом обнаружили, что есть и иррациональные числа, такие как квадратный корень из двух или отношение длины окружности к ее диаметру (число «пи»). Все это пришло из непосредственных наблюдений; нужно было соотнести длину диагонали квадрата с его стороной или длину окружности с ее диаметром. Пифагорейский мир от этих открытий чуть не рухнул: человека, открывшего иррациональные числа, говорят, утопили. Но вот история появления мнимых чисел несколько иная (напомню, что мнимым числом является произведение любого «обычного» числа и квадратного корня из минус единицы; последний в математике обозначается символом i). Мнимые числа возникли в математике (кажется, в XVI веке) как промежуточная ступень при решении алгебраических уравнений, то есть из нужд самой математики. Долгое время казалось, что их использование есть просто вопрос удобства и ничего глубокого за ними не стоит. Действительно, такими числами для простого счета пользоваться нельзя; не может же быть i яблок или расстояние от одного города до другого не может равняться i километрам. Однако оказалось, что мнимые числа очень даже нужны для физики, не просто нужны, а так нужны, что обойтись она без них просто не может.
Чтобы обсуждение не выглядело совершенно отвлеченно, приведу пример применения комплексных чисел. Вот, скажем, нам надо посчитать площадь под кривой, заданной уравнением у = 1/(х2 + 1), часть которой изображена на рисунке (предполагается, что кривая простирается от минус до плюс бесконечности, но этого, понятно, не нарисуешь).
Математически эта задача эквивалентна вычислению интеграла:
Все числа и функции здесь действительные, что очевидно хотя бы из того, что площадь под кривой (закрашена на рисунке серым цветом) действительна. Однако оказывается, что интеграл очень просто вычисляется, если переопределить его как интеграл от комплексной функции. Он равен π = 3,14159… Разумеется, я привел самый простой пример; в данном случае интеграл можно посчитать и без комплексных чисел, но есть множество примеров, когда этого сделать нельзя.
На мнимых числах расширение понятия числа не остановилось. В начале XIX века были введены кватернионы, перешедшие в физику сто лет спустя. В конце XIX века появились так называемые Грассмановы числа, названные так по имени открывшего их немецкого математика Германа Грассмана. Представьте себе объекты, которые можно перемножать (но не делить друг на друга) и складывать, а также интегрировать. Отличие этих объектов от обычных чисел состоит в том, что произведение двух Грассмановых чисел ab меняет знак, когда сомножители меняются местами: ba = — ab. Соответственно, произведение любого Грассманова числа на себя равно нулю. Звучит как игра абстрактного ума, не правда ли? Оказалось (через сто лет), что квантовая теория поля без таких чисел не может обойтись.
А не вспомнить ли историю геометрии Лобачевского? Задал человек себе вопрос: можно ли построить логически непротиворечивую геометрию, отказавшись от постулата о том, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Выяснилось, можно. Казалось бы, чистая абстракция. Практики (типа Чернышевского) говорили, что Лобачевский просто сумасшедший. А потом еще более сумасшедший немецкий математик Риман построил общую теорию таких геометрий, куда геометрия Лобачевского вошла как частный случай. А через несколько десятков лет Альберт Эйнштейн воспользовался этими «праздными измышлениями» для создания общей теории относительности, теории непревзойденной красоты и изящества.
Итак, математика, являясь абстрактной и отвлеченной наукой, самым неожиданным образом приносит вполне конкретные плоды. Однако на этом чудеса не кончаются. Давайте зададим себе вопрос: где находятся те объекты, которые математика изучает? Даже самая прикладная математика не имеет дела непосредственно с вещами и явлениями этого мира. Вместо этого она имеет дело с какими-то моделями, идеализациями типа идеальной сферы или окружности. В природе ничего такого совершенного нет (как говорил Гегель, «природа бессильна следовать идее»). Все утверждения математики касаются таких вот идеальных объектов. Например, доказал Пифагор теорему о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы — но где эти треугольники? А вот еще вопрос: выдумал Пифагор эту теорему или открыл? Если бы никто к настоящему времени не доказал этой теоремы, была бы она верна? Или: если все математики когда-нибудь исчезнут, останется ли верной теорема Пифагора? Ясно поэтому, что мир математики принадлежит к миру идей — разумных нематериальных сущностей, существующих объективно, вне нашего желания и воли.
Еще немного о числах. Как для пифагорейцев, так и для многих других мыслителей, мистиков и философов, числа не представляли из себя какой-то безразличный ряд, а обладали некой индивидуальностью. Казалось, что некоторые из них обладают особым смыслом. «Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть» (Отк 13, 18). Имеют ли эти представления под собой какую бы то ни было рациональную основу? Ну вот, например, что было бы, если бы у пространства, в котором мы живем, было не три измерения, а больше или меньше? (Я обсужу этот вопрос подробнее в одной из медитаций.) Было бы вот что: в пространстве более чем трех измерений не существовало бы стабильных атомов, так как электрическое поле не могло бы удержать электроны около ядра, а в пространстве с менее чем тремя измерениями атомы были бы настолько стабильны, что их ионизация была бы невозможна и никаких химических реакций не происходило бы. Так что, с одной стороны, — полный распад, а с другой — полный застой. Таким образом, число «три» здесь выступает, как весьма специальное, пограничное. Или, скажем, число «четыре». Это валентность атомов углерода, с такой валентностью они могут образовывать длиннющие цепочки, в которых две связи каждого атома идут на формирование костяка цепочки, а на две оставшиеся можно насаживать, как буквы, другие атомы (водород, кислород, фосфор и т. д.). Получается идеальное хранилище информации: строка и буквы на строке. На этом и стоит вся биология. Это примеры важных (для нас, разумеется) целых чисел. Однако роль некоторых иррациональных чисел представляется мне неизмеримо большей. Вот, например, основание натуральных логарифмов е = 2,721828… или «пи» = 3,14159… встречаются чуть не в каждой физической формуле. Кстати, е представляется в довольно забавном виде, как предел последовательности (1 +1/n)n где n целое число при n, стремящемся к бесконечности.
