Вся физика в 15 уравнениях - Бруно Мансулье
Однажды мне довелось увидеть поразительный рисунок: художник эпохи Возрождения изобразил на одном полотне траекторию пушечного ядра и декоративные фонтаны. Пушечное ядро поднималось по прямой линии под углом к горизонту, а затем внезапно падало вертикально вниз. Но вода, струящаяся из фонтанов, была изображена в виде плавных, изгибающихся линий — парабол, как станет известно много позже. Художник не знал, что капли в струях воды и пушечное ядро следуют по траекториям одинаковой формы. Он верно нарисовал водяные струи, поскольку они были видны ему, и траекторию пушечного ядра, так, как она представлялась ему, потому что ядро летит слишком быстро, чтобы быть видимым. Конечно, реальная траектория пушечного ядра действительно является параболой, как и траектории струй воды.
Но для чего он нарисовал столь странную треугольную траекторию? Обычное объяснение падению снарядов в то время было следующим: при выстреле пушка сообщает ядру определенное количество «толчка», затем этот «толчок» исчерпывается, а когда его не остается, идущая вверх прямая траектория останавливается, и мяч падает вертикально. Но что это за первоначальный импульс? Как этот толчок был передан ядру? Почему и как он расходуется и когда будет израсходован полностью? Чтобы правильно описать траектории струй воды, пушечных ядер и планет, нужно понять смысл концепций силы, массы и ускорения. К счастью, как только эти величины четко определены, уравнение, которое их связывает, оказывается совсем простым.
Немного ностальгии по утраченной y
В уравнении второго закона Ньютона a — это ускорение, то есть изменение скорости. Каждый водитель знает, что разгоняться — значит увеличивать скорость. Но торможение — это тоже ускорение, только со знаком минус. Скорость объекта представляет собой изменение положения тела за определенный интервал времени: чем больше скорость, тем больше изменится положение тела в пространстве за то же самое время. Ускорение — это изменение скорости объекта за определенный промежуток времени.
Это «исчисление вариаций», как его называли в XVIII в., лежит в основе всей физики. Если я изменяю влияющую величину на «самую малость», то зависимая величина изменяется при этом на «чуть-чуть» по определенному закону. Соотношение между малыми изменениями зависимых и влияющих величин — весьма скромная заявка на описание нашего мира. Я не пытаюсь дать глобального ответа, «как оно на самом деле», а лишь пробую описать отношения между приращениями, или вариациями, координат, скоростей, энергий, температур и т. д. Я ничего не говорю (пока) о том, как были созданы планеты, но надеюсь понять их движение и, самое главное, хочу получить возможность его предсказать. Мы наблюдаем за положением планет сегодня, зависимость между вариациями известна, следовательно, я могу вычислить их положение завтра, через год, через столетие, через вечность.
Я впервые познакомился со вторым законом Ньютона, будучи старшеклассником в Парижской школе, где традиционно уравнение записывалось в виде F = m y. Не знаю точно, почему тогда во французских школах использовалась греческая буква y для обозначения ускорения[4]. Однако теперь и там перешли к принятой на международном уровне и не такой удивительной для учащихся форме записи второго закона Ньютона с использованием a для ускорения.
Но мне особо понравилась буква y. Она была одним из первых важнейших символов, открытых мной в школе на уроках физики. Данное выражение позволило мне понять, что физическую величину или научную концепцию можно представить таким ясным и наглядным способом. Символ символов, так сказать! Во всяком случае, это был один из первых символов, с которым я начал взаимодействовать, изучая столь серьезную науку, и он же затем постоянно сопровождал мою работу в качестве физика. Это было также своего рода благословением: возможно, не все так просто; возможно, y заставляла задумываться немного больше, чем тривиальная a?
Довольно динамичная физика
И это лишь начало. F = my стало первым дифференциальным уравнением. Прямая зависимость между приращениями… Это уже было настоящей физикой, а не бухгалтерским учетом (мои извинения бухгалтерам). В младших классах механика использовалась только для расчета равновесия весов, давления на дне бассейна и тому подобных задач. Это была «статика», холодная, жесткая, скучная, сопровождаемая старомодными объяснениями. Сколько студентов решили заняться бухгалтерским учетом вместо физики, после того как им объяснили, что стол стоит вертикально из-за реакции земли на его ноги? Что? Какому извращенному уму пришла в голову мысль, что земля толкает стол снизу вверх? Было ли действительно необходимо вводить понятие силы, чтобы додуматься до чего-то подобного?
Великое уравнение F = m у — это прежде всего уравнение движения, причем движения абсолютно любых материальных тел. Движения воздуха или акустические колебания (если это действительно хорошая музыка), акустика, аудиокассеты… политика, Большой скачок, надежда на лучший мир… Движения вездесущи. Повсюду мягкая сила дифференциальных уравнений заставляла мир изменяться и совершенствоваться, придавая ему неисчерпаемую волю к жизни.
Лучшие книги моей юности, полные стремительных поездов, летающих автомобилей и космических ракет, все еще со мной, несмотря на возникающие сомнения: вопросы об обществе потребления, проблемы с экологией…
Но кого это волнует? Если бы не наше общество, то было бы другое, столь же одухотворенное, подчиненное конкуренции и с быстро сменяющимися силами, динамичное, во всяком случае, как любой подросток в 16–18 лет. Как можно было жить в 18 лет без кризисов, без безработицы, без жилищных трудностей? Как могла бы жить сегодняшняя молодежь, если бы мы дали ей такую возможность?
В конце концов, неподвижность или, скорее, равномерное движение по прямой линии рассматривается не как отсутствие, пустота, разочарованное бездействие, но как равновесие всех сил. Порядок среди беспорядка: первое проявление дзен-буддизма в нашем обществе, движение мира и любви. Статика понимается в последнее время как предельное состояние динамики.
Глава 4
Закон всемирного тяготения (классическая теория тяготения Ньютона)
Это закон всемирного тяготения, определяющий гравитационную силу, действующую на все тела, имеющие массу, и заставивший «яблоко упасть на голову» Исааку Ньютону, его изобретателю, в 1684 г. Данный закон утверждает, что все тела, имеющие массу, испытывают взаимное гравитационное притяжение, и определяет величину силы притяжения как функцию расстояния между двумя телами[5].
Этот фундаментальный закон объяснил единым образом движение небесных тел и притяжение тел к Земле, два явления, которые априори не имели ничего общего, с точки зрения человека XVII в. Открытие закона всемирного тяготения проложило путь к пониманию и предсказанию движения всех небесных тел.
О чем говорит приведенное уравнение? Два точечных тела с массами
