Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс
Как выразился сам Бомбелли, в 1572 году ему в голову пришла “шальная мысль”, что слагаемые в выражении 5+√-15 можно рассматривать как отдельные элементы. “Казалось, в основе этого лежит софистика, а не истина”, – отметил он, но все же осуществил задуманное. И мы поступаем так по сей день, поскольку этот метод работает.
Отдельные элементы Бомбелли мы называем действительными и мнимыми частями того, что в комбинации дает “комплексное число” (комплексное, как “военно-промышленный комплекс”, то есть предполагающее комбинацию – действительной и мнимой частей, – а не усложнение). Но давайте говорить начистоту. Если, вспоминая математику, мы и научились чему-то, так это тому, что все числа мнимые. Числа – это просто запись, помогающая нам с понятием “сколько”. В связи с этим называть квадратные корни из отрицательных чисел “мнимыми числами” – уничижительно и неразумно.
И все же следует понимать, что между ними есть разница. “Действительными” математики называют числа, которые знакомы вам лучше. Это “два” в сочетании “два яблока”, это 3,14… в пи, это различные дроби. Как положительные числа в некотором смысле дополняются отрицательными, так и действительные числа дополняются числами, которые нам приходится называть мнимыми. Они похожи на инь и ян, на орла и решку. И на самом деле они вовсе не мнимые.
Развивая свою “шальную мысль”, Бомбелли продемонстрировал, что числа нового типа играют собственную роль в реальном мире. Он взялся за кубическое уравнение, которое отчаялся решить Кардано: x3 = 15x + 4. В решении Кардано возникло выражение с квадратным корнем из –121, и ученый просто зашел в тупик. Бомбелли, однако, подумал, что можно попробовать применить к квадратному корню обычные правила арифметики. И он предположил, что √–121 эквивалентен √121×√–1, то есть 11×√–1.
Свой великий прорыв Бомбелли совершил, когда осознал, что эти странные и, казалось бы, невозможные числа подчиняются простым арифметическим правилам, если в ходе вычислений отделить их от других, более привычных нам чисел. После этого оставалось лишь взять быка за рога.
Поработав с кубическим уравнением Кардано, он получил решение:
x = (2 + √–1) + (2 – √–1)
Если разделить его на части, которые сейчас назвали бы действительной и мнимой, у нас получится 2 + 2 и √–1 – √–1. Мнимая часть исчезнет, и останется только 2 + 2. Следовательно, один из корней уравнения x3 = 15x + 4 – это x = 4. Подставьте 4 на место x и проведите проверку.
Мнимая реальность
Сегодня √–1, как правило, обозначается буквой i. Использовать ее предложил уже знакомый нам швейцарский математик Леонард Эйлер. Можно подумать, что он взял букву i, поскольку она идет первой в слове imaginary, “мнимый”, но, скорее всего, Эйлер выбрал ее произвольно, как и e. Как бы то ни было, решение Эйлера закрепило за i статус чисто мнимого числа, и это сбивает нас с толку.
Чтобы лучше понять, что такое чисто мнимое число, представим числовую ось от –1 до 1 (можете представить лежащую перед вами линейку, слева у которой –1, а справа +1). Процесс перемещения по оси мы называем сложением и вычитанием (я стою в точке 0,3, прибавляю еще 0,3 и перемещаюсь в точку 0,6). Но также можно представить, как мы перемещаемся путем умножения. Если я начинаю в точке 1, то как мне попасть в точку –1? Путем умножения на –1. Представим умножение на –1 как половину оборота по окружности против часовой стрелки (в нашем случае окружность проходит через точки 1 и –1). Это поворот на 180 градусов. Математики предпочитают использовать другие единицы: 180° – это π радиан (360°, полный круг, – это 2π радиан).
Чисто мнимые числа и числовая ось
Что произойдет, если мы совершим лишь половину такого поворота? Мы остановимся на полпути от умножения на –1, то есть как если бы произвели умножение на √–1. Этот поворот на π/2 радиан (или 90°) помещает нас в верхнюю точку полуокружности, находящуюся на удалении от обычной числовой оси. Следовательно, можно считать, что квадратный корень из –1 находится на второй числовой оси, которая проходит под прямым углом к первой. Это просто еще один набор чисел, на этот раз на второй линейке, которая лежит крест-накрест под углом 90° к первой, и дальше всего от вас находится +1, а –1 – прямо у вас перед глазами.
И здесь мы приходим к любопытному выводу. Связь с вращением по кругу значит, что число i связано с π и синусами и косинусами углов. Посредником в этой связи выступает странное число e, с которым мы встречались в прошлой главе. Эйлер установил, как именно они взаимосвязаны, когда взял особый бесконечный ряд (ряд Тейлора) и вывел формулу, которую теперь называют формулой Эйлера:
e±iθ = cosθ ± isinθ
Такова фундаментальная взаимосвязь между основанием натурального логарифма и чисто мнимым числом. Более того, можно свести ее к так называемому тождеству Эйлера:
eiπ + 1 = 0
Кому-то покажется, что в этой формуле есть нечто мистическое. В ней фигурируют основание натурального логарифма e, числа 0 и 1, которые представляют собой уникальные случаи на числовой оси, чисто мнимое число, само по себе исключительное, а также число π, питающее математику. Хотя их открыли в разное время разные люди, изучающие разные математические феномены, оказалось, что все они взаимосвязаны и сосуществуют в этом простом и изящном уравнении.
Впрочем, если взглянуть на него иначе, удивляться, пожалуй, станет нечему. В этой формуле, как и в числе π, нет ничего таинственного. Она является следствием того, что числа меняются и преобразовывают себя и друг друга при вращении. Это объясняется исключительно самой природой чисел, которые отражают взаимосвязь величин. Нам ведь не кажется мистическим движение по знакомой “действительной” числовой оси посредством сложения и вычитания. И преобразования путем умножения и деления, по сути, ничем не отличаются. Как вы помните, синусы и косинусы – это просто отношения (частные двух чисел), связанные с углами в
