Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
А при чем тут математика?
Петли, наушники, законы подлости, неприятности… при чем же тут математика? Почему вообще имеет смысл рассуждать о законах подлости не так, как Артур Блох, когда он просто посмеялся и нашел меткий афоризм?
С математикой знакомы все, но мало кто готов ответить на вопрос: что делают математики? Считают и вычисляют? Рисуют треугольники и круги на бумаге в клеточку? Передвигают туда-сюда буквы в уравнениях? Придумывают странные значки и закорючки, чтобы потом писать непонятные тексты? Решают задачи, вычисляя что-то по заказу инженеров, медиков, химиков и других практиков?
Если вы никогда этого не делали, загляните в какой-нибудь математический журнал — просто из любопытства. Сейчас это легко сделать не выходя из дома: поищите в Сети что-то на тему «гомологическая теория типов» или «топология». Вы поразитесь тому, насколько то, что вы там обнаружите, не похоже на школьный образ математики. Но вот что важно: эта колоссальная разница не говорит о том, что есть одна, «простая» математика и другая, «сложная». Математику часто называют языком. Как на любом живом человеческом языке можно писать анекдоты и незамысловатые детские стишки или неуловимо тонкую поэзию, тяжеловесный роман или многостраничный договор, так и с помощью математики можно рассуждать о числах и отрезках, а можно — о петлях и поверхностях, многомерных пространствах и даже основах самой этой науки. Не нужно думать, что числа и отрезки — самое простое, с чем работают математики! Современные теория чисел и геометрия — огромные и во многом неизведанные области, в которых ведутся очень интенсивные исследования.
Но что же все-таки изучают математики? Для чего им этот язык? Чаще всего речь идет о тех или иных моделях. Например, что может быть моделью количества? Число, скажете вы. Но любое ли число годится для этого? Младшие школьники, впервые сталкиваясь с отрицательными числами, испытывают замешательство, ведь модель числа оказывается шире привычного им понятия количества. Переход от количества к шагам помогает понять, что числа годятся для моделирования движений на прямой. Тогда отрицательные числа обретают наконец смысл. А чем можно моделировать скорость? Тоже числом. Но если я скажу вам, что двигаюсь со скоростью 60, будет ли этого достаточно для описания того, что со мной происходит? Точно нет! Остается неясно ни куда я двигаюсь, ни, собственно, с какой скоростью: 60 может означать как 60 км/ч, так и 60 мм/год. Отсюда можно заключить, что для моделирования скорости только числа недостаточно. А если, желая объяснить вам, как я перемещаюсь, я изображу стрелку, станет ли понятнее? Стрелка — ориентированный отрезок — в качестве модели скорости лучше. Она показывает направление, а сравнив ее с какой-то эталонной стрелкой, принятой за единицу, можно определить ее масштаб. Более того, стрелки можно складывать и умножать на числа, получая новые корректные стрелки! И, главное, если мне удастся придумать, как однозначно сопоставлять скорости предметов стрелкам на бумаге, причем окажется, что если v1 соответствует стрелка a, а скорости v2 — стрелка b, сумме скоростей 3v1 + v2 будет соответствовать стрелка 3a + b и никакая иная, — то это уже будет свойством, позволяющим мне не бегать по двору, изучая скорости, а, сидя в кресле, рисовать стрелки на бумаге.
А можно ли чем-то моделировать стрелки? Абстрактной моделью в этом случае способен стать упорядоченный набор чисел с определенными правилами сложения и умножения на число, который называется вектором. Так математики пришли к мысли о линейных векторных пространствах, элементами которых являются векторы. Изучая свойства этих пространств (изучая, а не придумывая, разницу мы обсудим позже), математики выработали единый язык, который называется линейной алгеброй, для разговора о таких разных вещах, как, например, цвета, вращения предметов в пространстве, спектры звуковых сигналов. Пользуясь этим языком, уже можно найти оптимальную стратегию в экономической игре или научить компьютер распознавать нашу речь, рукописные буквы либо лицо человека в толпе.
Математики работают с математическими структурами — универсальными моделями всего, с чем имеет дело человеческий разум. Группы, поля, решетки, графы, петли, косы, языки и бесконечномерные пространства… Все это структуры с четко определенными свойствами и, если угодно, поведением. Вот уже тысячи лет математики исследуют взаимосвязи между ними, обнаруживают в реальном и математическом мире, что еще можно с их помощью моделировать и при каких условиях.
Я не случайно называл манипуляции с петлями на проводе наушников «сложением», а сами петли «положительными» и «отрицательными». Такая терминология оправдана тем, что петли на струне образуют структуру, называемую группой. Для ее построения нужно иметь множество[4] A и некую операцию +, которая будет удовлетворять следующим четырем свойствам.
1. Замкнутость: для любых двух элементов из множества A результат операции + всегда будет элементом этого же множества.
2. Ассоциативность: для любых a, b, c из множества A верно, что (a + b) + c = a + (b + c).
3. Существование нейтрального элемента: в A есть единственный элемент 0, такой, что 0 + a = a + 0 = a для любого a из A.
4. Обратимость: для каждого элемента a в A существует единственный обратный ему элемент (—a), такой, что a + (—a) = 0.
Группа — общая модель для обратимого ассоциативного комбинирования действий или объектов. Ее образуют числа с операцией сложения, и они же формируют группу с операцией умножения. Несложно убедиться, что аксиомам группы удовлетворяют и петли на веревке или ленте. Понятие группы настолько важно в математике, что, хотя они сами нам в этой книге и не понадобятся, нелишним будет о них рассказать тем, кто с таким подходом еще не знаком, или напомнить тем, кто о группах уже слышал, но не связал свою жизнь с их изучением.
Мы в основном будем иметь дело с двумя структурами: случайными величинами и случайными функциями. Но, знакомясь с ними, мы встретим многие другие понятия и модели и
