Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Виновато ли масло?
В мерфологии известно неправильное цитирование закона Менкена Гроссманом:
Сложные проблемы всегда имеют простые, легкие для понимания неправильные решения.Очень часто можно услышать, что в законе бутерброда виновато масло, которое плотнее хлеба и потому «перевешивает». И хотя это не относится к предмету нашей книги, я хочу разобрать этот вопрос, чтобы поставить в нем наконец точку. Чтобы кто угодно потом мог сослаться на то, что «ученые доказали, что наличие масла не влияет на то, какой стороной шлепнется бутерброд»!
В детстве мы забавлялись тем, что подбрасывали высоко вверх голубиное маховое или хвостовое перо, воткнутое в кусочек пластилина диаметром один-два сантиметра. Перо подлетало метра на четыре, после чего красиво и плавно спускалось на авторотации, как вертолет с заглушенным двигателем. Потом мы подросли, и наши забавы стали менее безобидными. Мы раздобывали гайку и вкручивали в нее два болта с противоположных сторон, спрессовывая начинку из накрошенных спичечных головок. Оставалось привязать к одному из болтов ленту или кусок веревки, хорошенько раскрутить и запустить в небо метров на пятнадцать. В падении легкая лента стабилизировала вертикальное положение снаряда, обеспечивая качественный удар об асфальт и небольшой взрыв; порой гайка разлеталась на куски. (Будьте осторожны, если решитесь поделиться этим опытом со своими детьми!)
В обоих экспериментах мы видим, что легкое перо или лента быстро оказывались над тяжелой частью аппарата и стабилизировали падение. Это, видимо, и приводит к интуитивному мнению, что тяжелое масло и легкий хлеб тоже должны вести себя так. Представим себе воздушный шар: более плотная корзина всегда располагается под менее плотным шаром. Более того, опыт подсказывает, что если взяться двумя пальцами за геометрическую середину предмета с несимметрично распределенной массой, то он кувыркнется так, чтобы тяжелая часть оказалась внизу. Но ни одно из этих явлений не работает в случае падающего бутерброда.
Начнем со второго процесса — «перевешивания». Я не случайно занудно уточнил: «…если взяться за геометрическую середину предмета…». Здесь имеется в виду, что точки касания лежат на некой прямой, образующей ось вращения, которая проходит сквозь геометрическую середину предмета. В таком случае действительно устойчивым положением будет такое, в котором центр тяжести ниже оси. Но если образуемая пальцами ось вращения проходит через него, то система окажется в безразличном равновесии и ей будет все равно, как она ориентирована.
Что же заставляет ориентироваться «правильно» перышко с грузиком, мину из гайки или воздушный шар с воздухоплавателями в корзине? Воздух. Он «держит» наши предметы так, что ось вращения проходит выше центра тяжести. Точнее, набегающий поток воздуха, который создает силу, распределенную по площади тела. И условная точка ее приложения будет располагаться вблизи геометрического центра площади фигуры. Чтобы стало яснее, нарисуем силы, действующие на условный воздушный шар как на предмет с неравномерной плотностью (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Силы, приводящие воздушный шар в устойчивое положение
А что бутерброд?
Во-первых, если мы «выключим» воздух, он будет просто падать. В свободном падении тело вращается именно вокруг центра масс, так что у бутерброда нет резона поворачиваться как-то по-особому. Как нам говорили в школе: «В падающем лифте наблюдается невесомость». Масло в бутерброде столь же «невесомо».
Плотное масло может повлиять на процесс соскальзывания, оно эффективно поднимет центр масс над точкой касания и изменит в выражении для углового ускорения l на где δ = d/l — относительная толщина бутерброда. При небольших значениях δ это выражение приближенно равно l(1 + δ2/2). Получаем, как говорят, эффект второго порядка. Для бутерброда с соотношением ширины к толщине 5 к 1 эти относительные изменения не превышают 2 %. И это максимальная верхняя граница эффекта: мы переместили центр масс на поверхность бутерброда, что соответствует бесконечно плотному маслу!
Теперь «включим» воздух обратно, оставив плотность масла бесконечно превышающей плотность хлеба. Имеем тонкую плотную пластину масла с невесомым, но сопротивляющимся воздуху «парашютом» хлеба. Пока плоскость бутерброда расположена горизонтально или близко к тому, на нее действует момент сил воздушного сопротивления, пропорциональный парусности — площади, с которой взаимодействует поток воздуха: M-∝l2. В вертикальном положении парусность уменьшится и, соответственно, момент будет другим: M|∝ld. Отношение этих моментов: M| /M-∝δ. Я использовал здесь знак пропорциональности, поскольку коэффициенты сопротивления для пластинки, расположенной поперек и вдоль потока, различаются, и мне они неизвестны. Но они и не нужны — уже видно, что влияние воздуха в вертикальном положении (а именно оно делает неравнозначным положение масла) слабее, чем в горизонтальном. Теперь вспомним, что бутерброд вращается, а значит, он подставляется потоку то торцом, то плоскостью. Мы можем ввести меру действия сил сопротивления. Если угловая скорость вращения несущественно изменяется за один период (а для воздуха это так), то имеет смысл в качестве меры взять изменение момента импульса, пропорциональное времени действия силы. В свою очередь, период действия пропорционален углу, «заметаемому» бутербродом в течение этого периода. В итоге меры действия моментов M| и M- будут пропорциональны M|φ| и M-φ-, а углы, которые заметают торец и плоскость, показаны на чертеже ниже. Мы могли бы в качестве меры использовать работу сил сопротивления и получили бы такое же соотношение. Отношение углов легко вычислить:
При малых значениях отношения d/l можно воспользоваться приближением: φ| ≈ δ (используем свойство тангенса малого угла, выполняющегося с 10 % точностью при углах меньше 30°), а значит, имеем:
Опять получается, что влияние несимметричности для плоского бутерброда ограничивается эффектом второго порядка. Обычно плотность масла превышает плотность хлеба примерно вдвое. Таким образом, смещение центра масс не должно превышать трети толщины бутерброда при разумном слое масла (не больше толщины хлеба). Это уменьшит влияние масла до 0,2 %.
Если читателю показалось, что мы сейчас палили из пушки по воробьям, то я с ним полностью соглашусь. Но, во-первых, мне не хочется больше
