Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
μ ~ Gamma(8,25).
Оно будет часто встречаться в этой книге. Почему? Об этом вы узнаете в самом конце.
Рис. 3.4. Возможное распределение для коэффициента трения между бутербродом и поверхностью стола
Начальная скорость. Мы редко запускаем бутерброды с большой скоростью, чаще всего не кидаем их вовсе, но всё же иногда смахиваем. Про величину скорости известно лишь то, что она положительна. Можно предположить, что при смахивании в среднем мы движемся так же, как в среднем руки, — со скоростью около 0,5 м/с. Если про случайную величину известно только это, то ее разумно описать экспоненциальным распределением (рис. 3.5):
v0 ~ Exp(2).
Рис. 3.5. Возможное распределение для скорости, с которой бутерброд смахивается со стола
Его мода (положение максимума на графике) равна нулю, так что доля бутербродов, упавших без большой начальной скорости, будет вполне приличной. В тонком «хвосте» окажутся бутерброды, нечаянно запускаемые в полет при смахивании крошек со стола. Тут стоит обратить внимание на то, что экспоненциальное распределение, вообще говоря, отлично от нуля на всей положительной полуоси; а это значит, что ненулевую вероятность имеют и сверхзвуковая, и сверхсветовая скорости. Однако вероятность наблюдать их при указанном параметре чрезвычайно мала: для скорости, превышающей 10 м/с, она равна одной миллиардной, так что этой опасностью вполне можно пренебречь.
Эксперимент строился так: я «ронял» со стола фиксированной высоты сотню бутербродов, подсчитывал среди них долю тех, что упали маслом вниз, и, используя частотное определение вероятности, отражал на графике зависимость вероятности такого исхода от высоты стола. Вот что у меня получилось (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Вероятность приземления маслом вниз разных бутербродов с разными условиями в зависимости от высоты падения. Для каждой высоты проводилось 100 испытаний
Какая-то тенденция видна, но в глаза не бросается. При усреднении получается, что искомая вероятность от высоты стола почти не зависит и едва превышает 50 %. Можно ли доверять такому эксперименту? Опровергает ли он закон бутерброда? Может, мы недостаточно много бросали бутербродов — вон какие шумные получились данные![11] Увеличим число бросаний и посмотрим, что получится (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Вероятность приземления маслом вниз разных бутербродов, посчитанная для большего числа испытаний (по 500 на каждую высоту)
Выбросов стало меньше, но еще отчетливее видно, что закон бутерброда какой-то невыразительный. Отклонения от 50 % не настолько значительны, чтобы стоило говорить о каком-то «законе». Что же, мы готовы его развенчать?
Метод Монте-Карло выглядит заманчиво простым: знай себе подставляй какие попало данные и смотри, что получается. Математика — честная штука: на какой попало вопрос она готова дать какой попало ответ. А вот имеет ли смысл этот ответ, сильно зависит от вопроса. Правильно ли мы проводили наши эксперименты?
Как правильно задавать вопрос природе?
Перед тем как приступать к экспериментам, не таким игрушечным, как у нас, а настоящим и дорогостоящим, использующим орбитальный спутник, ускоритель элементарных частиц или тысячу настоящих бутербродов с маслом, необходимо провести подготовительную работу. И один из мощных и красивых методов, позволяющих понять, как верно и оптимально провести эксперимент, — анализ размерностей задачи.
Механику бутерброда мы рассчитывали, пользуясь импульсами и силами — физическими величинами, которые, в свою очередь, связаны уравнениями аналитической механики. И вновь это не просто числа. В физике количественные величины, которые мы измеряем и подставляем в уравнения, не «умещаются» в поле чисел. Они оснащены дополнительной структурой, которая называется размерностью. Не все корректные математические выражения имеют смысл, если в них участвуют размерные величины. Скажем, нет смысла складывать скорость и массу, невозможно сравнить силу и расстояние. Однако можно рассмотреть произведение скорости и массы, получив новую размерную величину — количество движения, или импульс; можно возвести скорость в квадрат и поделить на расстояние, получив таким образом величину, имеющую размерность ускорения.
Анализ размерности и теория подобия родились давно. Со времен лорда Рэлея они используются в механике, электродинамике, астрофизике и космологии, позволяя с пугающей изящностью подходить к решению очень сложных задач. Однако исследования в этой области не завершены, и строгое определение структуры, образуемой количественными (размерными) величинами, было дано лишь в 2016 году испанским математиком Альваро Рапозо[12].
Ограничения, накладываемые размерностями на физические формулы, часто воспринимаются учениками и студентами как лишняя морока, за которой нужно следить. Но логически согласованные ограничения чрезвычайно полезны! Они отсеивают неверные выражения, позволяют «предвидеть» структуру решения физической задачи до ее детального разбора, это мощный инструмент при планировании и анализе экспериментальных данных.
Но вот что важно. Мы рассчитывали падение бутерброда в компьютерной программе, используя не размерные, а обыкновенные числа. Как можно «освободить» физическую величину от размерности и превратить в число? Для этого предназначены хорошо нам знакомые единицы измерения физических величин: все эти метры, фунты, минуты и ньютоны. Единицы измерения берут на себя размерную часть величины, оставляя нам множитель — вещественное число, с которым уже может иметь дело вычислительная машина. Например, скорость в выбранном направлении величиной 72 км/ч можно представить числом 72. Но тут есть тонкость: от выбора единиц измерения зависит числовое представление. При других единицах (скажем, метрах и секундах) эта же скорость будет представлена другим числом: 20. Числа разные, но величина одна, и она не зависит от конкретных единиц.
Возникает вопрос: существует ли в каком-либо смысле «самая лучшая» система единиц? Оказывается, да, но для каждой задачи она своя. При решении нужно использовать в качестве единиц измерения размерные величины, входящие в задачу.
В этой главе у нас летают бутерброды, в предыдущей — монетки. Приведем еще один пример из области полетов. Как сравнивать летные качества различных птиц? Понятно, что скорости, которые развивают птицы, различны: у голубя —
