Алекс Беллос - Красота в квадрате
[7] Yutaka Nishiyama, Odd and Even Number Cultures, Mathematics for Scientists, 2005.
[8] Yutaka Nishiyama, Why 2000 notes are unpopular, Osaka Keidai Ronshu, vol. 62, No. 5, 2012.
[9] Lee C. Simmons and Robert M. Schindler, Cultural Superstitions and the Price Endings Used in Chinese Advertising, Journal of International Marketing, 2003.
[10] Terence M. Hines, An odd effect: Lengthened reaction times for judgements about odd digits, Memory & Cognition, 1990.
[11] James E. B. Wilkie and Galen V. Bodenhausen, Are numbers gendered?, Journal of Experimental Psychology: General, 2012.
[12] Дальнейшие исследования Джеймса Уилки, результаты которых еще не опубликованы, показывают, что женщины воспринимают ассоциации с числами более выраженно, чем мужчины.
[13] Винсент Хоппер. Числовая символика Средневековья. Тайный смысл и форма выражения. М. : Центрполиграф, 2014.
[14] Dan Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.
[15] Manoj Thomas, Daniel H. Simon, and Vrinda Kadiyali, The Price Precision Effect: Evidence from Laboratory and Market Data, Marketing Science, 2010.
[16] Nicolas Gueguen et al., Nine-ending prices and consumers behavior: A field study in a restaurant, International Journal of Hospitality Management, 2009.
[17] William Poundstone, Priceless, Oneworld, 2010.
[18] Sybil S. Yang, Sheryl E. Kimes, and Mauro M. Sessarego, $ or Dollars: Effects of Menu-price Formats on Restaurant Checks, Cornell Hospitality Report, 2009.
[19] В ресторанах самый распространенный пример того, как столбцы чисел стимулируют покупку на основании цены, а не качества продукта, — это склонность клиентов заказывать предпоследнюю по цене бутылку вина, указанную в списке. Покупка самого дешевого вина свидетельствовала бы о скупости клиента, особенно в случае романтического ужина. Поэтому многие рестораны делают самую большую наценку именно на предпоследнюю по цене бутылку вина.
[20] Birte Englich, Thomas Mussweiler and Fritz Strack, Playing Dice With Criminal Sentences: The Influence of Irrelevant Anchors on Experts Judicial Decision Making, Personality and Social Psychology Bulletin, 2006.
[21] Мой интернет-опрос (сайт favouritenumber.net) начался в 2011 году. На титульной странице сайта было его описание, после которого следовало два предложения: «Мое любимое число — …» и «Я выбираю его, потому что…» Респонденты могли сформулировать свои ответы словами или просто назвать цифры. Результаты, о которых идет речь на страницах этой книги, получены в ходе обработки 33 516 ответов; из них 3491 ответ был неопределенным или вообще отсутствовал. К моменту сдачи книги в печать в опросе приняли участие уже 42 000 респондентов.
[22] Eviatar Zerubavel, The Seven Day Circle, Free Press, 1985.
[23] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[24] Michael Kubovy and Joseph Psotka, The predominance of seven and the apparent spontaneity of numerical choices, Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1976.
[25] Существует всего восемь двузначных нечетных чисел от 1 до 50, состоящих из разных цифр, причем число 15 упомянуто в описании задачи, поэтому респондент вряд ли назовет его. Авторы книги The Psychology of the Psychic (Prometheus Books, 1980) Дэвид Маркс и Ричард Кэмменн разыграли этот трюк на занятии по психологии — и больше трети студентов выбрали число 37. Результаты были такими: число 37 (35 процентов), 35 (23), 17 (10), 39 (10), 19 (9), 31 (5), 13 (5), другие числа (3).
[26] Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.
[27] Marisca Milikowski, Knowledge of numbers: A study of the psychological representation of the numbers 1–100, PhD thesis at the University of Amsterdam, 1995.
ГЛАВА 2
[1] Domesday Book: A Complete Translation, Penguin Classics, 2003.
[2] Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, American Journal of Mathematics, 1881.
[3] Frank Benford, The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 1938.
[4]
Число
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Закон Бенфорда
30,1
17,6
12,5
9,7
7,9
6,7
5,8
5,1
4,6
Население округов
30,2
18,8
12,2
9,9
7,1
6,3
5,7
4,8
5,0
Доходы компаний
30,2
17,7
12,5
9,8
7,9
6,7
5,7
5,1
4,5
Сведения о населении округов США взяты из отчетов о результатах опроса американского общества (American Community Survey) за 2007–2011 годы. Финансовые данные — итог анализа 1,4 миллиона единиц информации из системы Compustat, выполненного Джайлан Ванг.
[5] Scott de Marchi and James T. Hamilton, Assessing the accuracy of self-reported data: an evaluation of the toxics release inventory, Journal of Risk and Uncertainty, 2006; Walter R. Mebane Jr., Fraud in the 2009 Presidential Election in Iran?, Chance, 2010; Malcolm Sambridge et al., Benford’s law in the natural sciences, Geophysical Research Letters, 2010.
[6] Miles L. Hanley, Word Index to James Joyce’s Ulysses, University of Wisconsin Press, 1953.
[7] George Kingsley Zipf, Human Behavior and the Principle of Least Effort, Addison-Wesley, 1949.
[8] Слово, которое появляется в тексте только один раз, обозначается термином «гапакс легоменон» (от древнегреческого hapax legomenon — «названный только раз»). Этот термин звучит как имя персонажа одной из историй об Астериксе или название скандинавской группы в стиле Death Metal. В издании данной книги на английском языке есть только одно такое слово.
[9] Ричард Кох. Принцип 80/20. М. : Эксмо, 2012.
[10] Fredrik Liljeros et al., The web of human sexual contacts, Nature, 2001.
[11] N. Johnson et al., From old wars to new wars and global terrorism, arXiv:physics/0506213, 2005.
[12] Joao Gama Oliveira and Albert-Laszlo Barabasi, Human dynamics: Darwin and Einstein correspondence patterns, Nature, 2005.
[13] Takashi Iba et al., Power-Law Distribution in Japanese Book Sales Market, Fourth Joint Japan-North America Mathematical Sociology Conference, 2008.
[14] Mark Buchanan, Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson, 2000.
[15] Albert-Laszlo Barabasi, Linked, Perseus, 2002; Albert-Laszlo Barabasi, Bursts, Penguin, 2010.
[16] Michael P. H. Stumpf and Mason A. Porter, Critical Truths About Power Laws, Science, 2012; Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and M. E. J. Newman, Power-Law Distributions in Empirical Data, SIAM Review, 2009.
[17] В книге Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences («Беседы и математические доказательства двух новых наук») Галилей сделал следующий набросок двух костей — маленькой и тонкой, а также большой и толстой. Он писал, что у большого животного большая кость «выполняла бы ту же функцию, что и маленькая кость у маленького животного».
Компания по выпуску игрушек для собак Nylabone продает нейлоновые жевательные кости, имеющие точно такую же форму, как на представленном ниже рисунке. В компании утверждают, что эти кости (получившие название Galileo) — «самые прочные жевательные кости для собак».
[18] Melanie Mitchell, Complexity: A Guided Tour, Oxford University Press, 2009.
[19] Geoffrey B. West, James H. Brown, and Brian J. Enquist, A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology, Science, 1997.
[20] Luis M. A. Bettencourt et al., Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities, PNAS, 2007.
ГЛАВА 3
[1] Роб посетил 6177 геодезических знаков, расположенных в Великобритании, в том числе 45 полуразрушенных и 100 опрокинутых. Большинство геодезических столбов, которые Роб еще не видел, находятся на островах. Он издали видел два геодезических знака, размещенных на земле Министерства обороны, в том числе знак, установленный на территории базы обслуживания атомных подводных лодок в Кулпорте (Шотландия). Однако Робу не разрешили приблизиться к ним. Еще только четыре коллекционера смогли пройти 3000 геодезических знаков.
[2] Практические аспекты предложенного Фалесом метода измерения высоты пирамид рассматриваются в статье: Thales’ Shadow’ by Lothar Redlin, Ngo Viet and Saleem Watson, in Mathematics Magazine, 2000. В частности, авторы демонстрируют, что солнечные лучи направлены перпендикулярно грани пирамиды два раза в день только весной и летом: один раз утром и один раз вечером.
[3] Не исключено, что египтяне обладали гораздо более обширными знаниями в области математики, чем принято считать, но установить это невозможно, поскольку об этом сохранилось слишком мало информации.
[4] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.
[5] В прошлом «две другие стороны» обозначались термином catheti (единственное число — cathetus), но в настоящее время в английском языке этот термин вышел из употребления. Однако в других языках он используется до сих пор: Kathete — в немецком языке, cateto — в испанском и португальском, катеты — в русском языке.
[6] Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover, 1993.
[7] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[8] Самая гибкая система с использованием единичных дробей — бинарная система, в которой дроби образуются так: половина, половина половины, половина половины половины и т. д., или , , , … В этой системе любая дробь может быть записана в виде комбинации единичных дробей. В 1911 году египтолог Георг Мюллер написал, что в ходе исследований открыл невероятно живописное древнее изображение первых шести единичных дробей бинарной системы. На представленном ниже рисунке изображен символ «око Гора», каждый элемент которого соответствует одной из этих дробей: левая часть роговицы — , зрачок — , бровь — и т. д.; остальные фрагменты представляют дроби , и . Шестьдесят три возможные комбинации фрагментов «ока Гора», отличных от нуля, позволяют выразить любую дробь от до . Помимо волнующего изображения «око Гора» имеет и не менее волнующую историю: это мистический символ Гора — бога с головой сокола, глаз которого был разделен на шесть частей его дядей и впоследствии снова собран воедино. К сожалению, после целого столетия принятия в 2002 году миф о глазе Гора был развенчан Джимом Риттером, который заявил об отсутствии каких бы то ни было доказательств того, что фрагменты «ока Гора» символизируют единичные дроби. Jim Ritter, Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of Horus-Eye Fractions, Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East, 2002.
