Алекс Беллос - Красота в квадрате
Кривизна (curvature): показатель отклонения кривой от окружности.
Логарифм (logarithm): математическое определение логарифма и логарифмического масштаба содержится в Приложении 1.
Математическая константа (mathematical constant): фиксированное число, возникающее в математике естественным образом, например число π или e.
Мнимое число (imaginary number): любое число, кратное i.
Многоугольник (polygon): двумерная фигура, контур которой представляет собой замкнутую ломаную линию.
Множество (set): совокупность тех или иных объектов.
Начало координат (origin): точка с координатами (0, 0) на координатной плоскости.
Непрерывность (continuity): свойство таких математических понятий, как прямая и кривая линия.
Номограмма (nomogram): диаграмма, позволяющая выполнять вычисления, начертив прямую линию и определив точку, в которой она пересекает шкалу значений.
Основная теорема исчисления (Fundamental Theorem of Calculus): теорема, которая гласит, что интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию, и наоборот.
Основная теорема алгебры (Fundamental Theorem of Algebra): теорема, гласящая, что любое алгебраическое уравнение может быть решено и это решение представляет собой комплексное число.
Основная теорема арифметики (Fundamental Theorem of Arithmetic): теорема, которая гласит, что любое целое число больше 1 либо является простым, либо представляет собой произведение единственного набора простых чисел.
Переменная (variable): величина, которая может принимать разные значения.
Периодическая волна (periodic wave): волна, повторяющаяся с определенной периодичностью.
Пи (pi): отношение длины окружности к ее диаметру, которое начинается с 3,14 и обозначается символом π.
Подобный (similar): термин, используемый для описания двух объектов, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер.
Полярная система координат (polar coordinates): схема координатной плоскости, в которой каждая точка на плоскости определяется ее расстоянием от фиксированной точки (полюса) и углом от заданной оси.
Показатель степени (power): когда число n умножается само на себя а раз, мы записываем это как na, где а — показатель степени.
Предел (limit): если последовательность значений все сильнее приближается к постоянной величине, так, что становится настолько близкой к этой величине, насколько это необходимо, то эта постоянная величина является пределом данной последовательности.
Преобразование Фурье (Fourier transform): процесс преобразования периодической волны в ряд Фурье, а также название этого ряда.
Производная (derivative): формула расчета градиента кривой, или скорость изменения переменной величины.
Простая дробь (common fraction): дробь, которая записывается в виде числителя и знаменателя, например или .
Простое гармоническое колебание (simple harmonic motion): колебание, при котором физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону.
Простое число (prime number): целое число больше 1, которое делится только на себя и на 1 (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…).
Прямой угол (right angle): четверть оборота, или 90 градусов.
Прямоугольная система координат (cartesian coordinates): схема координатной плоскости, в которой каждая точка определяется ее положением по горизонтали и вертикали. Как правило, прямоугольная система координат изображается в виде двух взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке (0, 0).
Равносторонний треугольник (equilateral triangle): треугольник с тремя равными сторонами.
Рулетта (roulette): кривая, которую образует точка на катящемся колесе.
Ряд Фурье (Fourier series): сумма (возможно, бесконечного количества) синусоид, сложение которых образует рассматриваемую волну.
Самоподобие (self-similarity): свойство объекта, в точности или приближенно совпадающего с частью самого себя.
Синус (sine): тригонометрическая функция, выражающая отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе.
Синусоида (sinusoid): кривая, имеющая форму синусоидальной волны.
Синусоидальная волна (sine wave): кривая, образованная посредством вертикального смещения точки, вращающейся по кругу.
Степенная зависимость (power law): две переменные находятся в степенной зависимости, если одна из них прямо или обратно пропорциональна степени другой.
Тангенс (tangent): тригонометрическая функция, выражающая отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к прилежащей стороне.
Теорема (theotrem): утверждение, которое не является самоочевидным, но доказано методом дедукции.
Теория множеств (set theory): раздел математики, который изучает свойства множеств и их способность стать основой для арифметики.
Триангуляция (triangulation): измерение расстояний с помощью тригонометрических функций.
Тригонометрия (trigonometry): раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование.
Факториал (factorial): факториал целого числа — это произведение всех целых чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал числа 5, который записывается как 5!, равен 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Фокус (focus): основная точка, которая используется при построении конических сечений.
Форма (shape): внешняя геометрическая конфигурация объекта, не зависящая от его размера и положения в пространстве.
Фрактал (fractal): объект, который обладает свойством самоподобия.
Хорда (chord): отрезок, соединяющий две точки окружности.
Числовая ось (number line): геометрическая интерпретация чисел, расположенных по порядку на непрерывной прямой, простирающейся до минус бесконечности слева и до плюс бесконечности справа от ноля, находящегося посредине.
Целое число (whole number): в контексте данной книги — любое положительное число 1, 2, 3…
Циклоида (cycloid): траектория движения точки, находящейся на ободе колеса, которое перемещается по прямой.
Экспонента (exponent): см. показатель степени.
Экспоненциальный рост/спад (exponential growth/decay): возрастание или убывание величины, при котором скорость роста (спада) пропорциональна значению самой величины.
Эксцентриситет (eccentricity): степень отклонения конического сечения от окружности.
Приложение 1
Логарифм можно определить следующим образом.
Если a = 10b, то логарифм числа a равен b и записывается в таком виде26:
log а = b
Другими словами, если число а выражено в виде степени 10, то логарифм числа а — это показатель степени. Вот некоторые простые значения логарифмов:
log 10 = 1, поскольку 10 = 101
log 100 = 2, поскольку 100 = 102
log 1000 = 3, поскольку 1000 = 103
А вот таблица логарифмов чисел от 1 до 10:
log 1 = 0
log 2 = 0,301
log 3 = 0,477
log 4 = 0,602
log 5 = 0,699
log 6 = 0,778
log 7 = 0,845
log 8 = 0,903
log 9 = 0,954
log 10 = 1
Если мы отметим логарифмы чисел от 1 до 10 на числовой оси, разместив их в соответствии с их значениями, то получим логарифмическую шкалу от 0 до 1. Чем дальше по оси находятся логарифмы, тем плотнее они расположены.
На этой шкале я также отметил расстояние между логарифмами. Вы узнаете в них проценты из закона Бенфорда. Иными словами, если я случайным образом выберу на этой шкале точку от 0 до 1, вероятность того, что она попадет в интервал от log 1 до log 2, составляет 30,1 процента, в интервал от log 2 до log 3 — 17,6 процента и т. д.
Точно так же длина первого интервала равна log 2 – log 1, второго log 3 – log 2, а интервала d — log (d + 1) – log d. Это означает, что эти вероятности можно более точно выразить как log (d + 1) – log d для каждого значения d.
Приложение 2
Здесь я покажу вам, что в двойном логарифмическом масштабе любое уравнение вида всегда представлено прямой линией с наклоном влево, и наоборот: в двойном логарифмическом масштабе прямую с наклоном влево всегда можно описать представленным выше уравнением. Если на координатных осях откладываются логарифмы ранга и частотности, то прямая с наклоном влево отображает закон Ципфа:
Для того чтобы понять изложенные ниже разъяснения, мы должны иметь определенное представление о координатной геометрии (о концепции градиента, например), а также об основных свойствах логарифмов. Кроме того, нам необходимо принять как истинное следующее утверждение.
