Алекс Беллос - Красота в квадрате
Множество узников в итерации z → z2 + с: множество Мандельброта
© Брайан Поллок
На первый взгляд множество Мандельброта (именно так назвали эту фигуру) выглядит уродливо и даже пугающе. Но если присмотреться к нему поближе, то можно увидеть его замысловатую красоту. На представленных ниже рисунках показаны детализированные изображения «Долины морского конька» — так называется фрагмент множества Мандельброта между головой и телом «жука». Расположенные по периметру бугорчатые выступы образуют ажурный «огуречный» орнамент со спиралями, напоминающими хвост морского конька. Внутри этих спиралей еще больше спиралей, затем еще спирали внутри спиралей — и так до тех пор, пока не появится миниатюрное множество Мандельброта, запечатленное в этой фигуре как насекомое в капле янтаря. «Он [фрактал] не оставляет места для скуки, поскольку все время появляется что-то новое, но и не дает нам заблудиться, так как нечто знакомое возвращается снова и снова», — писал Мандельброт. Процесс изменений носит безмерно глубокий и широкий характер: на какой бы фрагмент границы множества вы ни посмотрели, увеличение уровня детализации раскроет бесконечно меняющийся ландшафт. Битва между узниками и беглецами так идеально сбалансирована, что вихри схваток между ними можно обнаружить в каждой точке, в любом масштабе.
Путешествие в Долину морского конька
© Брайан Поллок
© Брайан Поллок
Множество Мандельброта — это фрактал. Термин «фрактал» ввел сам Мандельброт для обозначения любой фигуры, содержащей уменьшенные версии самой себя. (Ходила шутка, что буква «Б» в имени «Бенуа Б. Мандельброт» означает «Бенуа Б. Мандельброт».) Фракталы часто встречаются в природе — например, цветок головки цветной капусты имеет ту же форму, что и вся головка, а один фрагмент ветки папоротника напоминает всю ветку. Именно фрактальные свойства множества Мандельброта делают его бесконечно раскрывающиеся узоры столь органичными. Открытие Мандельброта — это тот редкий случай, когда серьезное достижение в области чистой математики стало столь же значимым событием в массовой культуре. Изображения фрактала появились на обложках журналов и на стенах спален; он стал такой же иконой 1980-х, как Адам Ант или подплечники. У фрактала до сих пор масса приверженцев. По мере увеличения мощности компьютеров исследователи проникают в структуру фрактала все глубже и глубже, и каждое такое путешествие отражает не только научные, но художественные и духовные поиски.
Множество Мандельброта можно сделать еще красивее, если раскрасить беглецов в разные цвета в зависимости от того, с какой скоростью они стремятся к бесконечности. Кроме того, анимация таких изображений создает эффект падения сквозь окружающий мир. Автомобильный инженер из Детройта Орсон Ванг купил три компьютера, чтобы воспроизвести изображение фрактала с большей степенью детализации, чем когда-либо удавалось последователям Мандельброта. Он потратил три месяца на выбор самой лучшей исходной позиции и в итоге остановился на точке, расположенной рядом с комплексным числом –1,7 + 0,2i на выступающей части мини-множества Мандельброта. На протяжении шести месяцев компьютеры Ванга создавали изображение с глубиной детализации 10275, что более-менее эквивалентно шестикратному уменьшению обозримой Вселенной до размера протона. В результате было получено завораживающее изображение. Острый шипастый выступ превращается в горизонтальную нить, потом в крест, в восьмиконечную звезду, беспорядочное скопление узловатых стеблей, а затем посредине неожиданно взрывается целый вихрь концентрических кругов. Это зрелище захватывает дух. «Для меня множество Мандельброта олицетворяет как непостижимую сложность, так и надежду», — объясняет Орсон.
Открытие множества Мандельброта стало важной победой компьютеров, показавшей, что они могут помочь в создании новой математики. До этого считалось, что чем ближе вы присматриваетесь к чему-то, тем проще оно становится. Целью научных исследований было разбиение изучаемых объектов на базовые элементы. Но вот появилась фигура, которая становилась сложнее по мере увеличения глубины детализации. Более того, она доказывала, что одно простое правило способно создать бесконечно сложную структуру. Самое удивительное свойство множества Мандельброта состоит в том, что оно образуется всего лишь посредством умножения и сложения — двух элементарных арифметических операций, знакомых даже семилетнему ребенку.
У основания «Долины морского конька» есть точка −0,75. В 1991 году математик Дэйв Болл пытался доказать, что непосредственно над ней нет узников, поэтому стал выполнять итерацию точек, которые находились все ближе и ближе к этой точке [16]. Болл начал с точки –0,75 + 0,1i, осуществив столько итераций, сколько было необходимо, чтобы комплексное число оказалось больше чем за две единицы от начала координат, поскольку как только исходная точка достигает двух единиц от начала координат, она гарантированно становится беглецом. Затем он сделал то же самое с точкой –0,75 + 0,01i и т. д., после чего составил такую таблицу.
Мнимая часть
Количество итераций
Мнимая часть × количество итераций
0,1
33
3,3
0,01
315
3,15
0,001
3143
3,143
0,0001
31417
3,1417
0,00001
314160
3,14160
Вы видите, к чему стремится последнее значение? Все ближе и ближе к числу π.
В связи с множеством Мандельброта появилась масса вопросов, на которые пока нет ответов. Специалисты по занимательной математике долгие годы пытались понять, можно ли создать такое множество в трех измерениях. Поскольку трехмерной модели комплексной плоскости не существует, очевидного решения этой задачи нет. Тем не менее в 2009 году Дэниел Уайт, 31-летний учитель игры на фортепиано из Бедфорда, нашел вариант ответа, перенеся принципы умножения комплексных чисел с двумерной в трехмерную систему координат.
Точка на комплексной плоскости может быть определена ее расстоянием от начала координат и углом к горизонтальной оси.
Точно так же точка в пространстве может быть определена ее расстоянием от начала координат и двумя углами, один к горизонтальной оси, а второй — к вертикальной, подобно тому как точка на земном шаре определяется широтой (вертикальным углом) и долготой (горизонтальным углом).
Когда вы умножаете два комплексных числа, вы суммируете их углы и умножаете расстояния. Дэн представил умножение двух точек в пространстве как сумму двух горизонтальных углов, сумму двух вертикальных углов и умножение расстояний.
Вооружившись этим определением, Дэн Уайт построил трехмерное множество узников итерации z → z2 + c. Результат был неутешительным. «Это напоминало взбитые сливки», — сказал он. Бесконечная живость, присущая множеству Мандельброта, ослабла, и Дэн пожаловался на это участникам интернет-форума для любителей фракталов. Прорыв произошел после того, как инженер-механик их Лос-Анджелеса Пол Ниландер предложил Дэну использовать итерацию z → z8 + c. Это небольшое изменение превратило взбитые сливки в обросшую ракушками фрактальную планету с пещерами, как будто кружащими в водовороте горами и напоминающими звезды расщелинами. Объект получил название «оболочка Мандельброта». «Меня охватило благоговение, — признался Дэн. — Было ощущение, что открыта новая вселенная».
Благоговение — единственно верная реакция на оболочку Мандельброта. Этот объект мог бы быть космическим кораблем, обитателем морских глубин, инопланетным вирусом… — всем, чем захотите. Его поверхность более детальна и причудлива, чем все, что может создать человеческое воображение. Тем не менее всю эту структуру абсолютно точно определяет одна строка: z → z8 + c.
Открытие множества Мандельброта восстановило связь между математикой и естественными науками. Фрактальная геометрия стала новым подходом к пониманию сложных форм в природных явлениях, от метеосистем до береговых линий, от живых организмов до кристаллов. Но за три столетия до этого другое крупное математическое открытие оказало еще большее влияние на то, как мы видим окружающий мир.
8. Профессор Калькулус
Французский математик Седрик Виллани совсем не похож на обычного университетского профессора. Красивый и худощавый, с мальчишеским лицом и волнистыми волосами до шеи, он скорее напоминает денди «Прекрасной эпохи» или участника претенциозной студенческой рок-группы. Виллани всегда одет в костюм-тройку с накрахмаленным белым воротником, галстук лавальер (галстук, завязанный в большой вычурный бант) и сверкающую брошь в форме тарантула. «Мне же нужно было что-то с этим сделать, — сказал он по поводу своей внешности. — Это произошло инстинктивно».
