Журнал «Млечный Путь» - Млечный Путь, 2012 №02

Конечно, понять специфику устройства таких «математических мин» для человека, далекого от новейших открытий естественных наук, совсем не просто. Но, как говаривал Евклид еще 2300 лет назад, «в геометрии нет особого пути даже для царей». И 23 века поисков таких путей к успеху не привели. Так что тот, кто решит проверить правильность моего убеждения об идеях Р. И. Пименова, должен помнить мудрость М. Е. Салтыкова-Щедрина: «Не к тому будь готов, чтобы исполнить то или другое, а к тому, чтобы претерпеть».

Тех, кого не испугало это предупреждение, приглашаю последовать за мной в мир абстракций и чисел. Итак, что же новое открыл Р. И. Пименов в математическом инструментарии естествознания?

Принцип причинности

Часто простое кажется вздорным,Черное белым, белое черным.Мы выбираем, нас выбирают,Как это часто не совпадает…

Если перевести содержание эпиграфа на физико-математический язык, то окажется, что эти строки выражают чрезвычайно сложную и фундаментальную философскую и естественнонаучную проблему ВЫБОРА. Ее можно сформулировать так:

нас ли выбирают обстоятельства (законы природы и начальные условия) для совершения тех или иных действий, или мы сами выбираем варианты поведения из предоставленных нам законами природы возможностей?

Первый вариант отражает концепцию детерминизма — движения по времени в соответствии с «объективными законами природы», предписывающими однозначную цепочку событий: причина — следствие. Пример: если шарик находится на гладкой горке (причина), то он обязательно скатится к определенной точке ее подножия (следствие). И, зная начальное его положение и «географию горки», мы по законам механики всегда можем вычислить положение в любой последующий миг. А если он находится на вершине? По какому склону он покатится? И тут детерминизм дает четкий ответ — ни по какому! Но стоит сместить шарик чуть-чуть (на бесконечно малое расстояние, на «дифференциал» от вершины) и точно знать, куда именно мы его сместили, детерминистические законы механики снова точно укажут результат его движения.

И в простых, и в более сложных случаях «наличие в природе дифференциала» определяет возможность предсказания поведения всей системы.

Напомню читателю смысл этого фундаментального математического понятия. По сути оно очень просто. Утверждается, что «кривую» линию можно заменить последовательностью маленьких отрезков прямой. Причем таким образом, что основные математические свойства исходной линии (ее суммарная длина, области пространства, через которые она проходит) почти не изменяются. Важно подчеркнуть, что это «почти» может быть сделано таким маленьким, что отличие не будет обнаружено при любой заданной степени точности. И до середины XX в. считалось, что такую операцию можно проделать с любой кривой.

Дифференциал — это и есть тот отрезок прямой, которым заменяют истинную кривую на коротком участке с соблюдением указанного условия. Коротком настолько, что его называют «бесконечно малым». Естественно при этом, что дифференциал не имеет никакой внутренней структуры и равномерно заполнен точками.

Физическим следствием такой математической процедуры является появление принципа причинности — если в данной точке кривой лежит начало «отрезка дифференциала» (причина), то в его конце однозначно возникает другая точка — следствие.

Второй вариант — это вариант со «свободой воли». Квантовая неопределенность — это только другая форма этого понятия. Здесь именно она, таинственная, но реальная способность к «свободному выбору» значения пары «причина — следствие» определяет направления движения во времени и творит действительность.

Что же осознал Р. И. Пименов? Оказалось, что техническое в математике понятие дифференциала незаслуженно заняло место физико-философского принципа причинности. Почему это произошло?

Непрерывность и причинность

Я много лет пиджак ношу,Давно потерся и не нов он.И я зову к себе портногоИ перешить пиджак прошу.

Теперь перейдем к разбору сути эссе Р. И. Пименова. Оно посвящено обсуждению применимости традиционного математического аппарата к физической природе вещей.

Аппарат этот чрезвычайно сложен. Но, вслед за Р. И. Пименовым, нас будет интересовать «дифференциально-топологический этаж» математического здания. О дифференциале было сказано выше. Теперь рассмотрим еще два математических понятия — топология и гладкость.

В «Большом толковом словаре современного русского языка» Д. Н. Ушакова дано такое определение: «ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos — место и logos — учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т. е. независящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.)». Более строго можно сказать, что топология — это конкретное средство объединения близких элементов множества в особые непрерывные подмножества.

Важно отметить, что современная топология имеет дело не только с геометрическими множествами (линиями, фигурами, телами), но и с любыми множествами.

Конкретизируя математические абстракции, можно отметить, что очень богато топологиями, например, множество живущих на Земле людей — человечество. Расы, языки, темпераменты, ментальности, профессии и многие другие виды общностей могут являться конкретными топологическими принципами объединения людей в реальные целостные подмножества.

В математике топология занимается изучением в самом общем виде проявлений непрерывности пространства, т. е. его свойств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях — изгибах, растяжениях, сжатиях, скручивании и т. п. без разрывов.

В отличие от метрических геометрий, в топологии не рассматриваются свойства объектов, характеризующиеся расстоянием между парой элементов (точек). И топологически эквивалентными оказываются, например, куб и сфера. Надуйте резиновый куб, и он превратится в сферу!

Теперь о гладкости — «главном герое» эссе Р. И. Пименова. Вот как характеризует он современное понимание гладкости в математике: «…дифференциальная топология установила, что гладкость является совершенно самостоятельным объектом, НЕ ВЫВОДИМЫМ и НЕ СВОДИМЫМ ни из, ни к другим конструкциям».

Дифференциальная топология — это раздел топологии, основанный на аппарате дифференциального исчисления. И именно аксиомы математического анализа (прежде всего, существование бесконечно малых величин и их свойства) и являются основаниями для описания гладкости пространства.

Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике — это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики — размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика — это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях — это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может — по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.

Чаще всего рассматривают и обсуждают обычное евклидово пространство n измерений. (Напомню, что евклидовыми называют те пространства, расстояния между точками которых измеряются так, как мы определили для «прямого туннеля» — по теореме Пифагора). И, если не оговаривается особо, то по умолчанию принимают n = 3. Чаще просто потому, что мы считаем «наше физическое пространство» трехмерным евклидовым. Но после открытия неевклидовых геометрий и гиперкомплексных чисел в поле зрения математики попали и многие другие пространства, и сегодня их со всеми вариациями и обобщениями существует, вероятно, не меньше, «чем Донов Педров в Бразилии».

Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь». Того же мнения о сущности гладкости придерживается и известный космолог Брайан Грин: «Понятие „гладкости“ имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова „гладкость“ хорошо передает суть этого понятия: гладкий — значит без складок, без проколов, без отдельных „нагроможденных“ друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит».