Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2001 № 12

по математике Савченко Елена Александровна

10. Каким образом к Вам попала эта афиша?

В ЗФТШ ежегодно приходит более 6 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения анкеты! Пишите аккуратно, лучше печатными буквами.

ВНИМАНИЕ! Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь конверт с наклеенными марками на сумму 3 руб. На конверте напишите свой домашний адрес.

Ученикам, зачисленным в ЗФТШ в рамках утвержденного плана приема, необходимо будет оплатить целевой взнос для обеспечения процесса подготовки и издания учебно-методических материалов по программе ЗФТШ и рассылки их по почте адресатам. Сумма взноса будет составлять ориентировочно для учащихся заочного и очного отделений 200–350 руб. в год, для очно-заочного — 400–700 руб. (с каждой факультативной группы).

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 2002 года.

Вступительные работы обратно не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 2002 года.

Тетрадь с выполненными заданиями (по физике и математике) высылайте по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской области. Институтский пер., 9, МФТИ, ЗФТШ.

Для учащихся Украины работает Киевский филиал ЗФТШ при МФТИ (обучение платное). Желающим в него поступить следует высылать работы по адресу: 252680, г. Киев, пр. Вернадского, д. 36, Институт металлофизики. Киевский филиал ЗФТШ при МФТИ. Телефон: (044) 444-95-24.

Для учащихся из стран зарубежья возможно платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях ЗФТШ. Условия обучения для прошедших конкурсный прием будут сообщены дополнительно.

Ниже приводятся вступительные задания по физике и математике. В задании по физике: задачи 1–5 предназначены для учащихся седьмых классов, 1, 2, 4–7 — для восьмых классов, 4, 7-12 — для девятых классов, 7, 12–17 — для десятых классов. В задании по математике: задачи 1–5 — для учащихся седьмых классов, 2–6 — для восьмых классов, 5-11 — для девятых классов, 8 — 14 — для десятых классов.

Номера классов указаны на текущий 2001–2002 учебный год.

1. Вычислить число

2. Найти частное двух чисел, если оно в два раза меньше одного из них и в шесть раз больше другого.

3. На конечной остановке в трамвай вошли пассажиры, и половина их заняла места для сидения. Сколько человек вошло на конечной остановке в трамвай, если после первой остановки число пассажиров увеличилось на 8 % и известно, что трамвай вмещает не более 70 человек?

4. В треугольнике AВС проведены высота ВК и отрезок BL, перпендикулярный стороне AВ. Известно, что LALB = 45°' а точка L делит отрезок КС пополам. Найти длину стороны АС, если длина отрезка КС равна 4 см.

5. Дан угол и точки B и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая — на другой стороне угла. Найти точку М, равноудаленную от сторон угла, такую, что MB = MС.

6. Найти все значения параметра, при которых система

имеет единственное решение.

7. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 45. Если третье число увеличить на 48, то вновь полученные числа, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой не является целым числом. Найти исходные три числа.

8. К 22 часам 20 % не проголосовавших к 18 часам человек проголосовало, после чего процент не проголосовавших людей составил 32 %. На сколько процентов увеличилось количество проголосовавших к 22 часам по сравнению с проголосовавшими к 18 часам?

9. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет четыре различных корня.

10. В ромбе ABCD из вершины на сторону AD опущен перпендикуляр BE. Найти углы ромба, если

11. Решить неравенство

12. В трапеции с основаниями 3 см и 4 см диагональ имеет длину 6 см и является биссектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобокой?

13. Решить систему неравенств

14. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направлены вниз, касающиеся оси OX и прямой

Найти уравнение той из них, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат минимальна.

1. На первую треть пути автомобиль затратил четверть всего времени, а оставшееся расстояние он проехал со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

2. Рычаг с тремя грузами находится в равновесии. Масса правого груза 5 кг, левого — 1 кг. Найдите массу среднего груза, если массой остальных элементов конструкции можно пренебречь.

3. Ученик измеряет плотность тела, не подозревая, что оно изготовлено из равных масс двух материалов с плотностями 3 г/см3 и 6 г/см3. Какой результат он получит?

4. В воде плавает тело массой 1 кг и объемом 3 литра. Найдите выталкивающую силу и минимальную силу, которую надо приложить к телу, чтобы полностью погрузить его под воду.

5. Из материала с плотностью, вдвое большей плотности воды, изготовили полый шар объемом 8 литров. Найдите объем полости внутри шара, если он плавает в воде, погрузившись ровно наполовину.

6. В термос поместили 1 кг воды при температуре +50 °C и некоторое количество льда при температуре —20 °C. Сколько могло быть льда, если в итоге в термосе установилась температура 0 °C.

7. Найти показание амперметра в схеме на рисунке, если вольтметр показывает 6 В? Сопротивления резисторов указаны в Омах. Измерительные приборы можно считать идеальными.

8. Тело свободно падает с высоты 90 м. Разделить эту высоту на три части так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.

9. Тело, имея начальную скорость V0 = 1 м/c, двигалось равноускоренно и, пройдя некоторое расстояние, приобрело скорость V = 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?

10. Груз массой m = 20 кг можно поднимать с помощью системы из подвижного и неподвижного блоков. С какой постоянной силой F надо тянуть веревку, чтобы за время подъема t = 0,5 c груз из состояния покоя достиг скорости V = 2 м/с? Массами веревки, блоков и трением в осях блоков пренебречь.

11. Шайба, брошенная вверх вдоль наклонной плоскости, скользит по ней и через некоторое время возвращается в точку бросания. При каком угле наклона наклонной плоскости шайба возвратится, имея втрое меньшую скорость, чем при бросании? Коэффициент трения скольжения между шайбой и наклонной плоскостью μ = 0,3.

12. Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск. На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной l и составляющей угол α со стержнем. С каким периодом должна вращаться система, чтобы шарик не отрывался от диска?

13. Деформация вертикально расположенной легкой пружины, удерживающей гирю, составляет х = 4 см. Чтобы увеличить деформацию пружины на 50 %, медленно надавливая на груз в вертикальном направлении, надо затратить работу А = 0,3 Дж. Найти жесткость К пружины.

14. Протон, пролетая мимо первоначально покоившегося ядра неизвестного химического элемента, отклонился на угол α (cos α = 4/15), потеряв 10 % своей скорости. Найти массовое число химического элемента.

15. Вертикальный цилиндрический сосуд сечения S = 10 см2 закрыт массивным поршнем. При подъеме сосуда с ускорением 2g объем газа под поршнем уменьшается в 1,5 раза. Найти массу поршня, считая температуру газа постоянной. Внешнее давление Р0 = 105 Па. Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.

16. В цилиндре под поршнем находится n = 2 моля идеального газа. Определить начальную температуру газа, если при сообщении ему тепла Q = 18 кДж объем увеличился в 2,5 раза. Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении Ср = 21 Дж/моль К.