Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2007 № 11

Для учащихся из зарубежных стран возможно только платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях. Условия обучения для прошедших конкурсный отбор будут сообщены дополнительно. Номера задач, обязательных для выполнения (заочное и очно-заочное отделения), приводятся в таблице:

Номера классов указаны на текущий 2007–2008 учебный год.

МАТЕМАТИКА

После порядкового номера задачи в скобках указано количество очков за задачу.

1(3). Студент купил две книги и уплатил за них 390 рублей. Если бы первая книга стоила 65 % от своей цены, а вторая книга — на 30 % больше своей цены, то их цены были бы одинаковыми. Сколько денег заплатил студент за каждую книгу?

2(3). Расстояние между пунктами А и В 15 км. Путешественник отправился из пункта А в пункт В в 9.30 утра и двигался со скоростью 3 км/ч. На следующий день он отправился из В в пункт А в 11 часов утра и двигался со скоростью 12 км/ч. При этом он заметил, что в промежуточном пункте С он оказывался в одно и то же время. Сколько времени он затратил на путь от В до С?

3(4). В прямоугольном треугольнике ABC (LС = 90°,) известно, что BC = 27, LАВС = 30°. Через середину гипотенузы М проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе, которая пересекает катет ВС в точке Р. Найдите РМ.

4(4). Найдите наименьшее число, запись которого состоит лишь из нулей и единиц, делящееся без остатка на 225.

5(4). Из молока, жирность которого составляет 5,8 %, изготовляют творог жирностью 19,33 %, при этом остается сыворотка жирностью 0,63 %. Сколько творога получится из 170 кг молока?

6(5). Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую работу. Первая и вторая бригады вместе могут выполнить ее на 36 мин. быстрее, чем одна третья. За то время, за которое могут выполнить эту работу первая и третья бригады, вторая может выполнить половину работы. За то время, что работу выполнят вторая и третья бригады, первая выполнит 2/7 работы. За какое время все три бригады выполнят эту работу?

7(6). Центр вписанной окружности треугольника симметричен его центру описанной окружности относительно одной из его сторон. Найдите углы треугольника.

8(5). Решите уравнение

(х — 3)(х — 6)(х + 1)(х + 4) = 1080.

9(3+2). а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

b) Найдите площадь полученной фигуры.

10(4). Решите систему уравнений:

11(7). Медиана AM остроугольного треугольника ABC равна 25. Из точки М опущены перпендикуляры МР и MQ на отрезки АВ и АС соответственно. Найдите сторону ВС, если АР = 24, AQ = 15.

12(5). Три числа х, у, z образуют возрастающую арифметическую прогрессию, а их квадраты х2, у2, z2 составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 15.

13(5). Решите уравнение:

1 + 2sin2x = 2(sinx + cosx)

14(5). Решите уравнение

15(5). Решите неравенство:

ФИЗИКА

1. Латунь — это сплав меди и цинка. Для латунной детали массой М = 120 г и объемом V = 14 см3 определите, какая доля массы детали приходится на цинк. Считать, что объем детали равен сумме объемов меди и цинка.

Плотности меди и цинка считать известными.

2. Автобус и мотоцикл находятся друг от друга на расстоянии L = 20 км. Если они будут двигаться с постоянными различными скоростями в одном направлении, то мотоцикл догонит автобус через время t1 = 1 ч. Если они будут двигаться навстречу друг другу с теми же скоростями, то встретятся через t2 = 10 мин. Каковы скорости мотоцикла и автобуса?

3. Из пункта С, расположенного точно посередине между пунктами А и В, стартуют два мотоциклиста и велосипедист. Первый мотоциклист поехал со скоростью V = 90 км/ч в сторону пункта А, второй с такой же скоростью в сторону пункта В, а велосипедист в сторону пункта А со скоростью U = 30 км/ч. Первый и второй мотоциклисты, доехав до пунктов А и В, соответственно, сразу поворачивают и продолжают движение в обратном направлении. Определите время и место встречи мотоциклистов и велосипедиста, а также мотоциклистов. Расстояние между пунктами А и В равно L = 24 км.

4. В резервуар, имеющий форму параллелепипеда с вертикальными стенками, закачивается нефть. Дно резервуара представляет собой прямоугольник со сторонами a = 2,5 м и b = 2 м. Каждую секунду в резервуар поступает 20 кг нефти. С какой скоростью повышается уровень нефти в резервуаре?

5. Имеется высокая U-образная вертикально расположенная трубка. Площадь поперечного сечения трубки 5 постоянна по всей ее высоте и равна 0,8 см2. Верхний конец ее левого колена расположен на h = 4 см ниже верхнего конца правого колена (см. рис. 1). Трубка заполнена водой так, что она доходит до края левого колена. Затем в правое колено трубки наливают масло так, что его верхний уровень совпадает с верхним уровнем трубки (см. рис. 2). Какую массу масла налили? Какой объем воды вылился из трубки? Плотность воды ρв = 1 г/см3, плотность масла ρм = 0,8 г/см1.

6. В дне сосуда имеется круглое отверстие, на которое положен цилиндрический брусок радиуса R = 5 см и толщины d (см. рис. 3). Оси бруска и отверстия совпадают. В сосуд медленно наливают воду. Когда уровень воды поднялся выше верхней грани бруска на высоту d, брусок начал всплывать. Чему равен радиус отверстия r?

Плотность материала бруска равна ρ = 600 кг/м3, плотность воды — ρв = 1000 кг/м3.

7. Муравей находится на середине соломинки длиной l (см. рис. 4). Соломинка лежит на двух опорах. Левая опора находится на расстоянии l1 = 5l/12 от левого конца соломинки, а правая — на расстоянии l2 =13l/28 от ее правого конца. На какие максимальные расстояния от середины соломинки влево и вправо может отползти муравей, чтобы соломинка при этом не перевернулась. Масса муравья в 6 раз меньше массы соломинки, а его размеры много меньше длины соломинки. Соломинку считать однородным стержнем.

8. Для нагревания смеси медных и стальных опилок общей массой m = 200 г от температуры t1 = 20 °C до температуры t2 = 220 °C потребовалось подвести теплоты в количестве Q = 17,6 кДж. Какова масса медных опилок в этой смеси?

9. В сосуде с тонкими вертикальными стенками и площадью дна S = 100 см2 находятся вода и лед при температуре t1 = 0 °C, причем масса льда в 10 раз меньше массы воды. В сосуд целиком погружают нагретую до температуры t2 = 80 °C стальную деталь. При этом уровень воды сразу после погружения детали повышается на h = 3 см. Какова начальная масса воды в сосуде, если известно, что после установления теплового равновесия температура в нем оказалась равной t = 5 °C? Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь.

Удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг∙К), льда сл = 2100 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления льда λ = 330∙103 Дж/кг.

10. Три резистора включены в электрическую цепь, показанную на рис. 5. Если между точками А1 и В1 подать напряжение 30 В, то напряжение на сопротивлении R3 окажется равным 15 В. Если напряжение 60 В подать между точками А2 и В2, то напряжение на сопротивлении R1 окажется равным 30 В. Определите сопротивление резисторов R1, R2 и R3 если известно, что общее сопротивление цепи между точками A1, и В1 составляет 2 Ом.