Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора
При этом Кантop мог, когда это требовалось, без обиняков и даже иронически высказываться против теологических предрассудков, как это видно, например, из его замечаний о сущности континуума в [13] , ч. 5, § 10.
Математический мир видит в лице Кантора великого пролагателя новых путей. Труд его указал новые направления развития анализа, открыв совершенно нетрадиционные постановки вопросов; широкое признание этого влияния он и сам уже в значительной мере мог видеть. Но только в наше время, в особенности благодаря работам молодой топологической школы, все более отчетливо осознается и признается роль его идей в столь же революционном прогрессе геометрии, которая может благодаря им продвигаться вперед с безупречной строгостью. Тончайшие идеи теории точечных множеств доказали свою ценность даже в физических приложениях. Что касается абстрактной теории множеств, к которой следует причислить, наряду с общими теориями эквивалентности и подобия, мир трансфинитных порядковых чисел, а также философское истолкование теории множеств, то в нынешнее время здесь снова заметны беспокойство и неуверенность. Но и в этих вопросах в ходе развития рано или поздно исполнятся слова Гильберта о рае, созданном для нас Кантором, из которого никому не удастся нас изгнать. И если для этого может потребоваться ряд новых фундаментальных идей, направленных в чуждые нам теперь стороны, то в целом завоевание актуальной бесконечности для науки является уже историческим фактом, и на этой почве, основываясь на идеях Кантора, будет происходить дальнейшее развитие, как это предвидел Кантор в эпиграфе к своей завершающей работе: “Veniet tempus, quo usta, quae nunc latent, in lucem dies extrahst et longioris aevi di Cigentia” («Придет время, когда ныне скрытое извлечено будет на свет усердием будущего века».
Примечания
1
Эта работа примыкает к формулам Гаусса для решения диофантова уравнения ax2 + a'x'2 + a"x"2 = 0; в ней устанавливается некоторое соотношение, не приведенное у Гаусса в явном виде. Детальное обсуждение работ Кантора содержится в написанной мною подробной его биографии, опубликованной в Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, т. 39 (1930), стр.189−266, а также отдельной книгой: «Георг Кантор», Лейпциг и Берлин, 1930
2
Целью диссертации является отыскание всех преобразований, переводящих в себя тернарную квадратичную форму; Кантор предлагает для этого путь, отличный от уже открытого в 1854 г. Эрмитом
3
«Эмпирическая проверка теоремы Гольдбаха до числа 1000». Кантор составил таблицу около 1884 г., но опубликовал ее лишь в 1895 г. в C.R. de l’Association Française pour l’Avancement de la Science», 23-me session (Caen, 1894)
4
Ср. Acta Math., 50, стр. 20 .
5
Удивительно, что Кронеккер, вначале положительно отнесшийся к теореме единственности Кантора (ср. [3] ), впоследствии полностью игнорирует этот результат; например, в “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” («Лекциях по теории простых и кратных интегралов») (1894) он представляет вопрос о единственности как еще открытый!
6
В работе Гейне «Элементы теории функций» (J. Math., 74, стр. 172–188, 1872) иррациональные числа вводятся способом, в точности следующим идеям Кантора; ср. введение к статье Гейне, а также работу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»)
7
См. письмо Вейерштрасса П. Дю Буа-Реймону от 15 декабря 1874 г. ( Acta. Mathematica, 39, стр. 206, 1924)
8
См. письмо Вейерштрасса Софье Ковалевской от 16 мая 1885 г. ( ibid. , стр.195 и далее)
9
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-phlosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Основания общей теории многообразий. Математико-философский опыт учения о бесконечном), Лейпциг, 1883 г.
10
Еще одна, седьмая статья, предусмотренная Кантором, не была осуществлена (что можно объяснить уже его болезнью)
11
А. Шенфлис. Кризис в математическом творчестве Кантора. Acta Mathem., 50, 1–23 (1928). Ср. также Миттаг-Лефлер, ibid., стр. 25 и далее.
12
Тогда же, летом 1884 г. П. Таннери, предпринял попытку доказать гипотезу Кантора; рассуждения его содержат ошибку. ( Bull. Soc. Math. de France, 12, 90–96, 1884)
13
В действительности Кантор время от времени вел философские семинары, например, занимался Лейбницем, с целью разъяснить свою теорию актуальной бесконечности посредством сравнения с его мыслями. Как он любил говорить при этом, в качестве ординарного профессора философского факультета он имел право читать лекции даже о санскрите
14
В письме Кантора к Миттаг-Лефлеру от 17 декабря 1884 г., где, по-видимому, впервые идет речь об этом предмете, говорится: «Френсис Бекон, он и только он мог быть автором этих шедевров; ибо один и тот же огненный дух встречаем мы, с одной стороны, в этих драмах, а с другой − в “Moral essays” («Опыты о морали») и в других трудах Бекона»
15
Resurrectio Divi Quirini Francisci Baconi Baronis de Verulam Vicecomitis Sancti Albani CCLXX annis post obitum eius IX die apriles anni MDCXXVI. (Pro manuscripto.) Cura et impersis G(eorgii) C(antoris). Halis Saxonum MDCCCXCVI. [Воскресение Френсиса Бекона, барона веруламского, виконта Сент-Албанского, после смерти его 9 апреля 1626 года. (о рукописи). Издано усердием и за счет Г(еорга) К(антора). Галле в Саксонии, 1986(C предисловием на английском языке за подписью: “Dr. phil. George Cantor, Mathematicus” «Д-р философии Георг Кантор, математик».
Confessio fidei Francisci Baconi Baronis de Verulam…cum versione Latina G. Rawley…, nunc denuo typis excusa cura impensis G. C. Halis Saxonum MDCCCXCVI.
(C латинским предисловием за подписью G. C., 5 стр.). Собрание Релея тридцати двух стихотворений в память Френсиса Бекона. Свидетельство в пользу теории Бекона-Шекспира. Издано с предисловием Георга Кантора. Галле, 1897
16
По свидетельству Миттаг-Лефлера (Acta Math.,50, стр. 26, 1928), фундаментальные работы [13] были переведены для Acta на французский язык Пуанкаре
17
По поводу возражений Вундта, а также школы Гербарта (ср. Ztschr. Exacte Philos., 12) высказывается и сам Кантор в заключении статьи “Uber die verschiedenen Standpunkte in Bezug auf des aktuelle Unendliche” («О различных точках зрения на актуальную бесконечность), а также в “Mitteilungen zur Lehre vom Transfinften” («К учению о трансфинитном»); в последней речь идет также о рецензии Баллауфа
18
«Исследования Георга Кантора о многообразиях», Vierteljahresschrift f. Wiss. Philos., 9, 191–232 (1885)
19
«Научное понятие бесконечного: Зенон Элейский и Георг Кантор», Revue philos. De la France et l’Étranger, 20, 385–410 (1885)
20
Ср. письма Кантора У. Г. Юнгу от 1908 г. (см. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 24, стр. 422 и далее, 1926) и Джордену от 1905 г. (см. Г. Кантор, Работы по основаниям теории трансфинитных чисел. Перевод введение и примечание Филиппа Э. В. Джордена, Чикаго и Лондон, 1915, стр. 48.
21
Jaresbericht d. D. Mathematikerveereinigung, 1, 3–7 (1892) и 3б 8 (1894)
22
Ни это приглашение, ни тон упоминаемого ниже ответного письма Кронеккера не должны ввести нас в заблуждение по поводу характера отношений между учеными, оставшегося прежним; ср. письмо Кантора Миттаг-Лефлеру от 5 сентября 1891 г.
23
В письме Юнгу от 9 марта 1907 г. Кантор резко нападает на известные статьи Бурали-Форти в Rendiconti Palermo, заявляя, что тот даже не усвоил понятия вполне упорядоченного множества (см. Mathem. Gazette, №14, 101, 1929)
24
Вскоре затем Кантор уточняет употребление слова «разнообразие» в этой связи, разъясняя, что он имеет в виду «разнообразия не связанных вещей, т. е. такие разнообразия, что удаление из них произвольного элемента или многих элементов никак не влияет на существование остальных». (Отметим, как близко Кантор подошел здесь к запрещению так называемых непредикативных определений, тем самым неосознанно подвергая критике также понятие степени множества, основное для его построения теории множеств)
25
Доказательство Шредера (содержавшее пробел) было доложено осенью 1896 г. на Франкфуртском собрании естествоиспытателей; доказательство Бернштейна, найденное им зимой 1896/97 г., было доложено в 1897 г. на семинаре Кантора. Доказательство Дедекинда (не опубликованное) по существу совпадает с более поздним доказательством Цермело (Math. Ann., 65, 271, 1908)
26
Jahresber. d. D. Mathematikervereinigung, 101 и далее, 1922
27
Ср. речь Гильберта, посвященную памяти Минковского (Göttinger Nachrichten, 1909; Собрание сочинений Минковского, т.1), где цитируется также меткое замечание из доклада Минковского об актуально-бесконечном в природе. В обоих докладах упоминается оппозиция Кронеккера по отношению к идеям Кантора
