Алексей Шилейко - Информация или интуиция?
ИГРАЕМ В БИЛЬЯРД
ИГРАЕМ В БИЛЬЯРДПредыдущую главу мы закончили достаточно сильным утверждением о том, что качество энергии определяется ее информативностью, то есть количеством информации, затраченным в процессе преобразования энергии из одной формы в другую. В этой главе мы постараемся показать, что так оно и есть на самом деле. Это, в свою очередь, позволит нам утверждать, что информация суть физическая величина, такая же, как, например, масса или сила электрического тока.Изучение природы всегда связано с построением различных моделей. В данном случае наиболее удобной моделью, которая позволит нам понять связь между информацией и другими физическими величинами, а также прояснит вопрос о качестве энергии, будет бильярдный стол. Надеемся, что все наши читатели достаточно хорошо представляют себе, как выглядит бильярдный стол с шестнадцатью шарами. Поэтому мы не станем его здесь описывать, а условимся лишь о тех допущениях, которые необходимо сделать, чтобы он мог служить нам в качестве модели. Собственно говоря, нам понадобится одно-единственное допущение. Будем считать, что шары движутся по поверхности стола без трения, в том числе и о воздух. Будем считать также, что шары и борта стола идеально упругие. При таких условиях сумма кинетических энергий шаров в любые моменты времени будет одной и той же и начавшееся на столе движение никогда не прекратится. На некоторое время откажемся также от луз, а затем вернем их на свое место.А теперь — внимание! Составили шары в пирамидку, прицелились, ударили и смотрим, что будет происходить дальше. Для начала присмотримся к одному какому-нибудь шару. Вот он отскочил от пирамидки, ударился о борт, отскочил от борта, ударился о противоположный борт, снова отскочил, ударился о встречный шар, изменил направление своего движения, снова ударился о борт и так далее. Предположим, что мы наблюдаем за поведением шара после удара достаточно долго, скажем, полчаса. И зададим себе главный вопрос: можно ли каким-то образом связать исходное положение шара в пирамидке с тем положением, которое он занимает на столе в некоторый данный момент времени (у нас — через полчаса)?Конечно, если все время следить за движением шара или фиксировать это движение с помощью кинокамеры, можно восстановить всю его траекторию, и это даст возможность утверждать, что положение шара в данный момент времени в данном месте стола известным образом зависит от его положения в пирамидке в начальный момент. Однако согласитесь с тем, что достаточно нам хотя бы на несколько минут потерять бильярдный стол из виду, и мы не сможем ничего сказать о расположении шаров. Нет и не может быть никакой теории, которая позволила бы с заданной точностью (пусть даже совсем невысокой) предсказать положение шара через определенное время после удара, если даже нам известны направление и скорость битка или кия, наносящего первый удар.Объясняется это тем, что хотя, казалось бы, движения шаров, как катящихся по поверхности стола, так и отскакивающих от бортов и друг от друга, подчиняются простейшим законам механики, на самом деле точные значения углов, под которыми шары отскакивают от бортов и друг от друга, зависят от микроскопической структуры материала бортов и материала самих шаров, поверхность которых гладкая только на первый взгляд. Поверхность стола также имеет свою микроструктуру. Благодаря всему этому катящиеся шары на самом деле следуют достаточно сложным траекториям.Сложность траекторий шаров приводит к тому, что по прошествии достаточно большого количества времени после исходного удара у нас не будет никаких оснований для выделения какой-либо, даже достаточно большой области поверхности стола, в которой преимущественно должен оказаться данный шар. С совершенно одинаковыми основаниями мы можем указать любую область поверхности стола как возможное местоположение наблюдаемого шара.Здесь необходимо сделать очень важную оговорку. Мы значительно облегчили бы себе труд, если бы сразу сказали, что величина угла, под которым шары отскакивают от бортов или друг от друга, всегда содержит случайную составляющую и в результате этого по истечении достаточно большого времени после начального удара каждый шар с равной вероятностью может наблюдаться в любой области поверхности стола. Более того, у читателя, живущего в 80-х годах XX столетия, не возникло бы никаких сомнений в том, что он понимает, о чем идет речь.Однако мы потому выбрали в качестве модели бильярдный стол, чтобы рассмотреть основные закономерности поведения шаров без привлечения понятий случайной величины и вероятности. Независимо от того, имеет ли наш читатель опыт игры на бильярде или нет, он достаточно хорошо может себе представить, как ведут или как должны вести себя шары. Именно из наблюдения за их поведением он сделает вывод, что если наблюдать за некоторым шаром в течение достаточно долгого времени, то можно будет убедиться в том, что в конце концов на поверхности бильярдного стола не останется ни одной, даже самой маленькой области, где бы шар не побывал хоть однажды. А это эквивалентно утверждению о том, что у нас нет никаких оснований выделить какую-либо область стола и считать ее преимущественным местом нахождения данного шара.Суммируя сказанное, будем утверждать, что по прошествии достаточно большого времени (что значит «достаточно большого», предоставляем судить читателю) после исходного удара мы не знаем и принципиально не можем знать, где находится каждый шар. Чтобы у читателя не создалось впечатления, что мы уж очень далеко уклонились от главной темы, скажем иначе: у нас нет информации о положении шара. Заметим, однако, что сам шар прекрасно «знает», где он находится. Если вам почему-либо не нравится, что мы наделяем шар свойством «знать», можно сказать и иначе. Если поместить наблюдателя внутрь бильярдного шара и снабдить его соответствующими измерительными приборами, то в любой момент времени он будет точно знать, где находится, более того — он сможет связать свое местоположение со всеми предыдущими. Отсюда вывод: можно измерить угол, под которым отскакивает шар, но нельзя его предсказать. Нельзя предсказать, поскольку отсутствуют законы, в точности управляющие движением шаров.
Модель ТОМА СОЙЕРА
Но если сам шар «знает», где он находится, может быть, все-таки не стоит быть столь категоричными? Может быть, все-таки есть возможность предсказать положение шаров на бильярде?Некоторую идею в этом направлении нам может дать метод, разработанный в свое время бессмертным Томом Сойером и успешно использованный им также для определения местонахождения шара, точнее, шарика.Процитируем соответствующие строки из книги Марка Твена:«…он подумал, что, пожалуй, стоило бы отыскать шарик, который он забросил, и терпеливо принялся за розыски. Но найти шарик не мог. Тогда он вернулся к тайнику, стал на то самое место, с которого бросал шарик, вынул из кармана второй шарик и бросил его в тем же направлении, приговаривая:— Брат, ступай ищи брата!Он заметил, куда упал шарик, побежал туда и стал искать. Должно быть, шарик упал слишком близко или слишком далеко. Том проделал то же самое еще два раза. Последняя проба удалась: шарики лежали на расстоянии фута друг от друга».Так, может быть, все дело обстоит довольно просто? Достаточно взять два бильярдных стола, выставить па них пирамидки в точности одинаковым образом и совершить в точности одинаковые первые удары, тогда, наблюдая за ситуацией на одном из столов, можно будет знать, что происходит на другом? Увы, читатель отлично знает, что это не так. Если мы возьмем даже не два, а, скажем, тысячи бильярдных столов, то непосредственно из собственного опыта мы можем сделать заключение, что, к примеру, через полчаса после первого удара среди этой тысячи не найдется и двух столов с одинаковым расположением шаров.Объясняется это хотя бы тем, что в природе не существует и не может существовать двух в точности одинаковых бильярдных шаров, а также тем, что, даже пользуясь сверхсовременной измерительной техникой, мы не сумеем выставить две в точности одинаковые пирамидки.Приходим к окончательному заключению. Благодаря отражениям от бортов и друг от друга каждый движущийся бильярдный шар совершает весьма сложную траекторию. Обратите внимание на слово «сложную», оно еще не раз встретится нам в дальнейшем. В силу этой сложности оказывается, что по прошествии достаточно большого количества времени после первого удара на поверхности бильярда не останется ни одной, даже самой маленькой области, в которой выбранный шар не побывал хотя бы однажды. Это объективная характеристика бильярдного стола. Достаточно отметить на поверхности стола какую угодно область и наблюдать за ней не отрывая глаз, и рано или поздно, но ваш шар пересечет эту область.
БИЛЬЯРД С КРЫШКОЙ
Только что сказанное представляет собой содержание так называемой теоремы Луивилля, лежащей в основе современной статистической физики. Если шар рано или поздно побывает в любой, сколь угодно малой, области, у нас нет никаких оснований выделить какую-либо область и считать ее преимущественной для пребывания данного шара. Заметим, что такая характеристика не совсем объективна, поскольку в ней идет речь об основаниях, имеющихся у нас. И тем не менее она целиком вытекает из предыдущих.Поскольку у нас нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо область поверхности бильярдного стола другой, мы можем сделать и такое заключение: среднее количество времени, в течение которого данный шар пребывает в пределах данной области на поверхности бильярда, зависит только от размеров этой области. Это уже объективная характеристика, поскольку среднее количество времени можно измерить.Все три только что сформулированные характеристики по существу означают одно и то же. И причина того, что это именно так, одна — каждый из движущихся бильярдных шаров описывает достаточно сложную траекторию.Перед тем как перейти к дальнейшему, сделаем следующее замечание. При описании поведения бильярдных шаров нам несколько раз пришлось использовать слова «знаем», «не знаем». Это отступление может дать читателю некоторую идею относительно того, почему мы занялись изучением бильярда в книге, посвященной информации и интуиции.А теперь пойдем дальше. Закроем ровно половину (скажем, правую) бильярдного стола специально изготовленной крышкой. Крышка должна быть сделана так, чтобы она не оказывала никакого влияния на движение шаров, а лишь скрывала от наших глаз все, что происходит с шарами в пределах закрытой половины стола. Теперь нашему наблюдению доступна лишь левая половина бильярда. Введем понятие состояний. Будем считать, что бильярд находится в состоянии 0, если в пределах левой половины нет ни одного шара. Бильярд находится в состоянии 1, если в пределах левой половины находится один шар, в состоянии 2, если в пределах левой половины находится два шара, и т. д., в состоянии 16, если в пределах левой половины собрались все шестнадцать шаров.Заметим теперь, что состояния 0 и 16 могут быть реализованы единственным способом: когда все шары находятся справа или слева. Состояния 1 и 15 могут быть реализованы шестнадцатью различными способами: первый шар находится слева (справа), остальные в противоположной стороне, второй шар находится слева (справа), остальные… и т. д. Для подсчета числа способов, которыми могут быть реализованы состояния 2 и 14, будем рассуждать следующим образом. Имеется пятнадцать способов, в которых участвует шар номер 1, а именно: слева (справа) находятся шары с номерами 1 и 2, 1 и 3 и т. д., 1 и 16; четырнадцать способов, в которых участвует шар номер 2: это 2 и 3, 2 и 4 и т. д. … 2 и 1.6 (способ «2 и 1» уже был учтен в предыдущем случае); тринадцать способов с участием шара номер 3: это 3 и 4, 3 и 5, и т. д., всего 120 способов.Количество способов, которыми может быть реализовано каждое состояние, сведено в следующую таблицу, из которой мы видим, что наибольшим числом способов могут быть реализованы состояния 7, 8 и 9, то есть состояния, когда примерно половина шаров расположена на правой стороне бильярда, а другая половина — на левой.Состояния Кол-во способов, которыми могут быть реализованы данные состояния0 и 16 11 и 15 612 и 14 1203 и 13 5604 и 12 18205 и 11 43686 и 10 80087 и 9 114408 12870
