Коллектив авторов - Современная космология: философские горизонты
Теория множеств снимает противоположность конечного и бесконечного. Для нее не существует никакой принципиальной разницы между конечными и бесконечными множествами. Элементы множества задаются указанием их свойства, качества. Сказать: «такое-то множество» или «такое-то свойство» — это одно и то же, и не имеет никакого значения, присуще это свойство одному объекту или таких объектов бесконечно много.
Однако теория множеств одновременно резко усиливает противоположность конечного и бесконечного. Они, если угодно, пребывают на разных логических основах. Поскольку бесконечное множество эквивалентно своему под-множеству, то бесконечность явно нарушает аксиому Евклида (и самого «здравого смысла»!) «целое больше части».
Диалектичность теоретико-множественного понимания бесконечности этим отнюдь не ограничивается. Выше было подчеркнуто, что в теории множеств бесконечность есть качественное понятие. Но вместе с тем теория множеств впервые позволила по-настоящему, строго количественно различать разные бесконечности (понятие кардинального числа), более того, выяснила, что сам ряд мощностей бесконечных множеств бесконечен! Однако логика (арифметика) трансфинитных чисел отлична от обычной, так что возврата к чисто количественной бесконечности нет.
2.7. Актуальная и потенциальная бесконечность. В основе теории множеств лежит представление о существовании актуальной бесконечности. Выше это понятие неявно использовалось, разумеется. Но в силу его существенного значения для нашей темы на нем стоит остановиться особо.
До появления теории множеств математическая и философская мысль по существу не могла одолеть апории Зенона, доказывавшие невозможность актуальной (интенсивной, но фактически также и экстенсивной) бесконечности. Космологическая (экстенсивная) форма апории «Ахилл» отчетливо сформулирована в первой антиномии чистого разума Канта.
Всеобщее убеждение в невозможности актуальной бесконечности нашло выражение в известном изречении infinitum actu non datur — действительная (актуальная) бесконечность не дана (не существует). Против актуальной бесконечности высказывались философы такого калибра, как Аристотель, и математики такого калибра, как Гаусс. Многие современники Кантора во главе с Кронекером считали его настоящим еретиком. Против придания бесконечности какого бы то ни было реального значения решительно возражал виднейший математик Гильберт.
Но в сочетании слов «бесконечность Вселенной» бесконечность предполагается актуальной. Вселенная либо актуально бесконечна, либо она вообще не бесконечна. Это обстоятельство очень четко выражено в случае метрической бесконечности в однородных изотропных моделях. Если в некий произвольный момент времени пространство конечно, то оно всегда было и будет конечным, и обратно. Конечное пространство не может стать бесконечным, бесконечное — конечным, его свойство быть конечным или бесконечным есть инвариант эволюции.
Однако это вовсе не означает, что потенциальная бесконечность не имеет отношения к космологии. Заслуга теории множеств заключается, кроме всего прочего, в том, что она, в сущности, показала неразрывную связь актуальной и потенциальной бесконечности. Математики хотели ограничиться признанием одной лишь потенциальной бесконечности. Но как показал Кантор, потенциальная бесконечность фактически предполагает актуальную. Если теория множеств и вместе с нею актуальная бесконечность в конце концов получили всеобщее признание, то это потому, что теория оказалась мощнейшим математическим инструментом, притом универсальным. К казавшейся совершенно еретической точке зрения о том, что бесконечность может рассматриваться не как процесс, который не может быть завершен, а как нечто данное, законченное, постепенно привыкли. Но актуальная бесконечность вовсе не устранила потенциальную. Не только потенциальная бесконечность предполагает актуальную, но, по крайней мере, в известной степени и наоборот, актуальная предполагает потенциальную. Действительное, наименьшее из трансфинитных чисел, алеф нуль, через которое определяются остальные, — это мощность множества натурального ряда чисел. Таким образом, то, что мыслится как завершенное, независимое от какого бы то ни было процесса, определяется здесь через процесс, который не может быть завершен.
Из этого, между прочим, видно, что и то решение проблем бесконечности, которое дается теорией множеств, не может быть окончательным. Обратимся опять к тонкому знатоку глубоких проблем математики Г. Вейлю. «В системе математики, — пишет он, — имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума. Все остальное… представляет собой задачу формальной логики, не таящую уже в себе никаких трудностей и загадок… Теория множеств надеется и в этих двух пунктах возвести прочную плотину и запрудить поток бесконечного, грозящий затопить в своем течении наш дух[373]». Такая плотина еще не возведена и похоже, что не может быть возведена средствами теории множеств в существующем виде.
Каков, однако, прообраз потенциальной бесконечности в космологии? В общем виде ответ на этот вопрос, видимо, может быть примерно таков. Понятие актуальной бесконечности в математике идеализирует действительное положение вещей в том смысле, что рассматривает их как некую готовую, заданную, устойчивую совокупность. Но релятивистская космология установила нестационарность Вселенной (ее составных частей). Поэтому свойства Вселенной, в том числе и пространственно-временные, представляют устойчивое в изменении, и могут существовать лишь как результат многообразных процессов, нарушающих устойчивость. Потенциальная бесконечность является отражением этой стороны дела.
2.8. Метаматематическая бесконечность. Этим намеренно неоднозначным термином я хочу привлечь внимание к возможности дальнейшего обобщения понятия бесконечности в различных направлениях, которые по-разному выводят за пределы представлений, существующих в современной математике.
Во-первых, мыслимы обобщения основного для современной релятивистской космологии аспекта бесконечности — метрического — и усложнение основного понятия метрической геометрии — понятия кривизны. Одно из простейших предположений этого рода — наличие у пространства или пространства-времени второй кривизны (спиральности).
Во-вторых, не исключена возможность дальнейшего обобщения самой геометрии в смысле обнаружения у пространства-времени свойств, еще более устойчивых, чем топологические. При этом может претерпеть изменение и наиболее общее в геометрии понимание бесконечности — топологическое.
В-третьих, возможны изменения, которые явились бы метаматематическими в буквальном значении этого слова, т. е. выводящими за теоретико-множественные основы современной математики. Не только вся релятивистская теория тяготения, из которой исходит современная космология, но и теория поля вообще и вся теоретическая физика в целом строится на том самом теоретико-множественном понимании континуума, которое, по словам Вейля, является одним из двух обнаженных пунктов современной математики. Центральный пункт этого понимания — представление о точечном множестве, множестве, в котором можно с помощью понятия предельных точек подмножеств ввести понятие непрерывности. Представление об пространственно-временном континууме как реализации математического континуума (актуально бесконечного) может подвергнуться ревизии в различных направлениях, мыслимо, например, что макроскопическая непрерывность (пространства, времени, движения, существования частиц) имеет статистический характер, что в основе ее лежит дискретность пространства, времени, траектории, самого бытия частиц.
Выше (2.4.3) уже говорилось о связи между проблемами топологии и причинности (случайности). Связь эта, по-видимому, идет еще дальше, проникая в теоретико-множественное понимание континуума. Современная математика, возможно, нащупывает эту связь в исследованиях, связанных с мерой множества (в смысле Лебега). Послед-няя представляет собой интересный пример меры в общем (философском) смысле; в то же время она позволяет оперировать с такими множествами (абстрактными пространствами), которые плохо поддаются иным подходам; вместе с тем она является одним из центральных понятий в современной теории вероятностей, т. е. в науке о случайном (наука — отнюдь не враг случайностей!).
И все же наибольший «практический» интерес представляют не те метаматематические аспекты бесконечности, которые связаны с буквальным пониманием этого прилагательного, а с более распространенным, включающим в метаматематику те разделы математики, для которых еще не найдено (и, возможно, не будет найдено) место в старых, классических ее разделах (теория информации, теория игр, конечная, или дискретная математика, математическая логика и т. д.). Особенно важен логический аспект проблемы бесконечности и, соответственно, изучение этой проблемы средствами математической логики. Несмотря на то, что этот аспект весьма важен и для космологии, ему, по-видимому, уделялось очень немного внимания. Это является следствием характерной для нашего времени дифференциации науки, малой осведомленности специалистов о действительном положении дел за пределами узкой области своих интересов. Физики часто склонны думать, что вся сложность проблемы бесконечности Вселенной в том, что наблюдательные данные пока слишком ненадежны, что же касается математической, тем более — логической стороны дела, то, слава богу, здесь все ясно. Математики, наоборот, склонны думать, что хоть в физике (космологии) все достаточно ясно, поскольку все решается наблюдением, экспериментом. Специалисты по логике, возможно, полагают, что трудности есть и в математике, и в физике, но не логического порядка.
