РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
пунктирная линия проходит ниже прямой линии, когда портфель находится на уровне или выше своей первоначальной стоимости (100). Величина, на которую пунктирная линия ниже прямой линии, отражает стоимость страхования портфеля. Когда стоимость портфеля уменьшается, страхование портфеля ограничивает падение на некотором уровне (в данном случае 100) за вычетом расходов на осуществление стратегии.
Страхование портфеля соответствует покупке пут-опциона по портфелю. Допустим, фонд, которым вы управляете, состоит только из 1 акции стоимостью 100 долларов. Покупка пут-опциона на эту акцию с ценой исполнения 100 долларов при цене опциона 10 долларов соответствует пунктирной линии на рисунке 8-2. Худшее, что может произойти в данном случае с портфелем (1 акция и 1 пут-опцион), состоит в том, что по истечении опциона вы продадите акцию за 100 долларов, но потеряете 10 долларов (стоимость этого опциона). Таким образом, минимальная стоимость портфеля будет 90 долларов, независимо от того, насколько упадет базовая акция. При росте вы понесете некоторые убытки из-за того, что стоимость портфеля уменьшится на стоимость опциона.
Если сопоставить рисунок 8-2 с фундаментальным уравнением торговли и оценочным TWR из уравнения (1.19в), становится ясно, что в асимптотическом смысле застрахованный портфель лучше незастрахованного. Другими словами, если вы умны настолько, насколько глупа ваша худшая ошибка, то, застраховав портфель, вы ограничите последствия такой ошибки.
Обратите внимание, что длинная позиция по колл-опциону дает тот же результат, что и длинная позиция по базовому инструменту совместно с длинной позицией по пут-опциону с той же ценой исполнения и датой истечения, что и у колл-опциона. Когда мы говорим о том же результате, имеются в виду эквивалентные соотношения риск/выигрыш разных портфелей. Таким образом, пунктирная линия на рисунке 8-2 может также представлять длинную позицию по колл-опциону с ценой исполнения 100.
Посмотрим, как работает динамическое хеджирование при страховании портфеля. Допустим, вы, как управляющий фондом, приобретаете 100 акций по цене 100 долларов за акцию. Давайте смоделируем колл-опцион по этой акции. Сначала определим минимальный ценовой уровень рассматриваемой акции. Например, установим его на 100. Далее определим дату истечения этого гипотетического опциона. Пусть дата истечения будет последним днем текущего квартала.
Теперь рассчитаем дельту колл-опциона при цене исполнения 100 и выбранной дате истечения. Вы можете использовать уравнение (5.05) для поиска дельты фондового колл-опциона (можно использовать дельту для любой модели опционов, мы же будем использовать модель фондовых опционов Блэка-Шоулса). Допустим, дельта равна 0,5, т. е. в данный актив следует инвестировать 50% счета. Таким образом, вам следует купить только 50 акций, а не 100 акций, которые вы
бы купили, если бы не страховали портфель. Если цена акции будет расти, то же будет происходить с дельтой и количеством акций. Верхняя граница дельты равна единице, что соответствует инвестированию 100% средств. Если цена акции будет понижаться, то же будет происходить с дельтой и размером позиции по акциям. Нижняя граница дельты равна 0 (при этом дельта пут-опциона равна -1), и в этой точке следует полностью закрыть позицию по акциям.
Рисунок 8-2 Страхование портфеля
На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы динамического хеджирования, что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля. Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плюсом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Короткая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части портфеля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов, когда же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквивалентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимущество динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стратегию, это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг, в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючерсов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное управление портфелем. При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую стоимость портфеля, время до даты истечения, уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл-опциона, которая будет коэффициентом хеджирования, т.е. долей вашего счета, которую следует инвестировать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S&P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять остальные 54%, т.е. 27 контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь короткие позиции по 27 контрактам S&P одновременно с длинной позицией по акциям. Так как необходимо постоянно перерассчитывать дельту и регулировать портфель, метод называется стратегией динамического хеджирования. Одна из проблем, связанная с использованием фьючерсов, состоит в том, что рынок фьючерсов в точности не следует за рынком спот. Кроме того, портфель. против которого вы продаете фьючерсы, может в точности не следовать за индексом рынка спот, лежащего в основе рынка фьючерсов. Подобные ошибки могут добавляться к расходам по страхованию портфеля. Более того, когда ваш моделируемый опцион подходит очень близко к дате истечения, а стоимость портфеля приближается к цене исполнения, гамма моделируемого опциона астрономически возрастает. Гамма — это мгновенная скорость изменения дельты, т.е. коэффициента хеджирования. Другими словами, гамма является дельтой дельты. Если дельта изменяется очень быстро (т. е. моделируемый опцион имеет высокую гамму), страхование портфеля становится крайне обременительным. Существует множество путей обхода этой проблемы, и некоторые из них довольно сложны. Один из самых простых способов заключается в том, чтобы совместно использовать фьючерсы и опционы для изменения как дельты, так и гаммы моделируемого опциона. Большое значение гаммы, как правило, создает проблемы только тогда, когда подходит дата истечения, а стоимость портфеля и цена исполнения моделируемого опциона сближаются. Существует интересная связь между оптимальным f и страхованием портфеля. Можно сказать, что при открытии позиции вы инвестируете f процентов средств. Рассмотрим азартную игру, где оптимальное f=0,5, наибольший проигрыш равен -1 и вы располагаете 10 000 долларов. В таком случае следует ставить 1 доллар на каждые 2 доллара на счете, так как, разделив -1
(наибольший проигрыш) на -0,5 (отрицательное оптимальное f), мы получим 2. Разделив 10000 долларов на 2, мы получим 5000 долларов, поэтому следует ставить 5000 долларов, что соответствует доле f, т.е. 50% ваших денежных средств. Если умножить 10 000 долларов на f= 0,5, мы получим тот же результат, 5000 долларов, т.е. вам следует задействовать f процентов имеющихся денежных средств. Аналогично, если ваш наибольший проигрыш равен 250 долларам, а все остальное остается без изменений, то следует ставить 1 доллар на каждые 500 долларов вашего счета (так как -$250 / -0,5 = $500). Разделив 10 000 долларов на 500 долларов, мы найдем, что ставка равна 20 долларам. Так как максимальный проигрыш по одной ставке составляет 250 долларов, вы, таким образом, рискуете долей счета f, т.е. 50%, или 5000 долларов ($250 * 20). Мы можем сказать, что f равно доле вашего счета, которая подвержена риску, или f равно коэффициенту хеджирования. Так как f применимо только к активной части портфеля, при стратегии динамического дробного f коэффициент хеджирования портфеля равен:
(8.04а) H=f*A/E,
где Н = коэффициент хеджирования портфеля;
f= оптимальное Г(от 0 до 1);
А = активная часть средств счета;
Е = общий баланс счета.
Уравнение (8.04а) дает нам коэффициент хеджирования для портфеля при стратегии динамического дробного f. Страхование портфеля также работает при статическом дробном f, только коэффициент А/Е становится равным единице, а оптимальное f умножается на соответствующий коэффициент. Таким образом, при стратегии статического дробного f коэффициент хеджирования равен:
