Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Представляете, существуют даже специальные программы (в том числе и онлайн), которые ищут придуманные вами последовательности цифр среди знаков π и e. Испытывая одну из них, я с удивлением обнаружил, что знаки числа π, начиная с трехтысячного, выглядят как 31961 – день моего рождения, 19 марта 1961 года[36]!

Бесконечно занимательные и бесконечно невозможные бесконечные суммы

Давайте суммируем все, что нам на настоящий момент известно о суммах.

В начале главы мы выяснили, что

и поняли, что это – особый случай геометрического ряда, в котором при любом значении x (при условии, что –1 < x < 1)

Все это верно и для отрицательных величин от 0 до –1. Например, при x = –1/2 получаем

Ряд, в котором постоянно чередуются положительные и отрицательные величины, с каждым шагом приближающиеся к нулю, называется знакочередующимся. Он всегда сходится. Чтобы представить его более наглядно, начертите оси координат и поставьте палец в точку ноля. А теперь перемещайте палец таким образом: сначала вправо на единицу, потом влево на 1/2, вправо на 1/4 (проверьте себя – к этому моменту вы должны быть на точке 3/4), влево на 1/8 (на точку 5/8) и т. д. Рано или поздно ваш палец остановится на одной точке – 2/3 – и не сможет никуда с нее деться.

Возьмем другой знакочередующийся ряд:

После четвертого члена нам становится понятно, что бесконечная сумма составит минимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0,583…, после пятого – максимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0,783…. Истина, как всегда, кроется где-то посередине – 0,693147…. С помощью исчисления мы можем найти действительное значение этого числа.

Чтобы размяться, возьмем следующий ряд

и посмотрим, что будет, если продифференцировать обе его части. Помните, в главе 11 мы определили, что производные 1, x, x2, x3, x4 и т. д. равны соответственно 0, 1, 2x, 3x2, 4x3 и т. д.? Получается, что производная бесконечной суммы есть (бесконечная) сумма производных. А теперь применим цепное правило, чтобы продифференцировать (1– x)–1. При –1 < x < 1 получаем

Посмотрим на другой ряд, заменив x на – x. При –1 < x < 1

Найдем для обеих сторон антипроизводные (или первообразные), то есть займемся тем, что называется интеграцией. Чтобы это сделать, двинемся назад: например, если производная x² – 2x, то первообразная 2x – x². (Специально для тех, кто любит «погорячее»: производная x² + 5, x² + π или x² + c при любом значении c также равна 2x, поэтому первообразная 2x – и на самом деле x² + c.) Значит, первообразными 1, x, x², x³, x4 и т. д. будут соответственно x, x2/2, x3/3, x4/4, x5/5 и т. д., а первообразной 1/(1 + x) – натуральный логарифм 1 + x. То есть при –1 < x < 1

(Постоянная величина слева – 0, потому что при x = 0 нам нужно, чтобы левая часть соответствовала ln 1 = 0.) Так как x стремится к единице, мы получаем натуральное значение 0,693147…, а именно

Если же заменить x на – x², то при значении x, находящемся между –1 и 1,

В большинстве учебников по исчислению сказано, что y = tan–1x имеет производную Следовательно, если мы найдем первообразные обеих сторон (не забыв, что tan−10 = 0), то придем к

А положив x как величину, стремящуюся к нулю, – и к

Правильно пользоваться геометрическим рядом мы уже научились. Почему бы немного не попользоваться им неправильно? Формула утверждает, что

при любом значении x, ограниченным условием, что –1 < x < 1. А что, если набраться смелости и взять x = –1? Тогда наша формула примет следующий вид:

Конечно, это невозможно: при сложении и вычитании целых величин дробь вроде 1/2 просто не может образоваться, даже при сходящейся сумме. С другой стороны, крупица здравого смысла в таком ответе все-таки есть – просто взгляните на промежуточные суммы:

Возьмем другое «незаконное» значение – x = 2. Тогда ряд скажет нам, что

Этот ответ выглядит еще более нелепо, чем предыдущий: как может сумма положительных чисел быть отрицательной? Но зерно истины скрыто и здесь. Помните, в главе 3 мы разбирали случаи, когда положительная величина ведет себя как отрицательная в таких, например, отношениях:

Это привело нас к выводу, что 10k ≡ (–1)k (mod 11).

А вот один очень интересный способ понять 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…, который потребует от нас нестандартного творческого подхода. Вернемся назад к главе 4, в которой мы выяснили, что любое целое может быть представлено в виде уникальной суммы двух степеней двойки. Именно этот принцип лежит в основе двоичной системы счисления – системы, благодаря которой современные компьютеры умеют считать. Причем количество степеней двойки обязательно конечно. Например, в 106 = 2 + 8 + 32 + 64 таких степеней всего четыре. Но предположим, что для нас вдруг стало доступно и бесконечное их количество. Типичное бесконечное целое выглядит как

где каждый член – это степень по основанию 2. К чему это нас приведет, пока неясно, но некоторая закономерность здесь уже прослеживается. Так, эти числа можно складывать, перенося лишние цифры в следующий разряд – как мы всегда и делаем. Например, прибавив к предыдущему ряду число 106, получим

где две двойки предсказуемо дают 4, а две восьмерки – 16. А дальше смотрите, что происходит: этот результат мы прибавляем к следующим 16 и получаем 32. Плюс еще 32 – будет 64. А так как дальше у нас уже есть целых две величины, равные 64, имеем 64 и 128. Все, что выше 256, остается в единственном экземпляре. Теперь попробуйте представить, что произойдет, когда мы прибавим 1 к некой абстрактной «наибольшей» величине.

Мы получим бесконечную цепь реакций, уводящих за пределы уравнения все значения, не связанные степенными отношениями с 2. Следовательно, сумму вполне можно представить как 0. Так как (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) + 1 = 0, вычитание 1 из обеих частей приведет нас к бесконечной сумме, ведущей себя в точности, как число –1.

Хотите, расскажу вам о своей любимой бесконечной сумме? Вот она:

Чтобы доказать это, обратимся к алгебраическим хитростям и так же, как мы делали во втором доказательстве действительности конечного геометрического ряда, сдвинем отдельные элементы. Такой подход отлично срабатывает для конечных сумм, но в применении к суммам бесконечным он дает порой очень странные, порой абсурдные результаты. Применим его для начала к одному из предыдущих тождеств. Сумму запишем дважды – без сдвига и со сдвигом. Получится

Сложим эти два уравнения:

Следовательно, S будет равно 1/2, как мы и рискнули предположить чуть выше, заменив x в геометрическом ряду на –1.

Тот же метод можно использовать для быстрого (хотя и не вполне «законного») подтверждения формулы геометрического ряда.

Вычтем одно уравнение из другого:

Самое потрясающее то, что знакочередующаяся версия желаемой нами суммы тоже имеет очень любопытный ответ:

Сдвигаем, записываем ответ дважды:

Складываем:

Следовательно, 2T = S = 1/2, то есть T = 1/4, как и было сказано.