РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, является оптимальным.
Мы можем оптимизировать f, определив оптимальную дату выхода. Другими словами, мы можем найти значение оптимального f для данного опциона на каждый день между текущим днем и днем истечения. Запишем оптимальные f и средние геометрические для каждой указанной даты выхода. Когда мы завершим эту процедуру, мы сможем найти ту дату выхода, которая даст наивысшее среднее геометрическое. Таким образом, мы получим день, когда должны выйти из позиции по опциону для того, чтобы математическое ожидание было наивысшим (т.е. среднее геометрическое было наивысшим). Мы также узнаем, какое оптимальное количество контрактов следует купить.
Теперь у нас есть математический метод, с помощью которого можно выходить из позиции по опциону и покупать опцион при положительном математическом ожидании. Если мы выйдем из позиции в день, когда среднее геометрическое максимально и оно больше 1,0, то следует покупать число контрактов, исходя из оптимального f, которое соответствует наивысшему среднему геометрическому. Математическое ожидание, о котором мы говорим, — это геометрическое ожидание. Другими словами, среднее геометрическое (минус 1,0) является математическим ожиданием, когда вы реинвестируете прибыли (арифметическое положительное математическое ожидание будет, конечно же, выше, чем геометрическое).
После того как вы найдете оптимальное f для данного опциона, можно преобразовать полученное значение в число контрактов, которое следует покупать:
(5.19) K=INT(E/(S/f)),
где К = оптимальное число опционных контрактов для покупки;
f= значение оптимального Г(от 0 до 1);
S = текущая цена опциона;
Е = общий баланс счета;
1NT() = функция целой части.
Для расчета TWR следует знать, сколько раз мы хотели бы воспроизвести эту же сделку в будущем. Другими словами, если наше среднее геометрическое составляет 1,001 и необходимо найти TWR, которое соответствует этой же игре 100 раз подряд, то TWR будет 1,001^100 = 1,105115698. Поэтому можно ожидать заработка в 10,5115698%, если провести эту сделку 100 раз. Формула для преобразования среднего геометрического в TWR задается уравнением (4.18):
(4.18) TWR = Среднее геометрическое ^ X,
где TWR = относительный конечный капитал;
Х = число раз, которое мы «повторяем» эту игру.
Мы можем определить и другие побочные продукты, например, геометрическое математическое ожидание (среднее геометрическое минус 1). Если мы возьмем наибольший возможный проигрыш (стоимость самого опциона), разделим его на оптимальное f и умножим на геометрическое математическое ожидание, то получим среднюю геометрическую сделку. Как вы уже заметили, при использовании метода оптимального f в торговле опционами появляется еще один побочный продукт — оптимальная дата выхода. Мы рассматривали позиции по опционам при отсутствии направленного движения цены базового инструмента. Для указанной даты выхода точки, смещенные на 3 стандартных отклонения выше и ниже, рассчитываются из текущей цены, таким образом, мы ничего не знаем о будущем направлении цены базового инструмента. В соответствии с математическими моделями ценообразования мы не получим положительное арифметическое математическое ожидание, если будем удерживать позицию по опциону до срока истечения. Однако, как мы уже видели, можно достичь положительного геометрического математического ожидания, если закрыть позицию в определенный день до срока истечения.
Если вы предполагаете определенное изменение цены базового инструмента, его можно учесть. Допустим, мы рассматриваем опционы на базовый инструмент, который в настоящее время стоит 100. Далее предположим, что на основе анализа рынка выявлен тренд, который предполагает цену 105 к дате истечения, и эта дата отстоит на 40 рыночных дней от сегодняшней даты. Мы ожидаем, что цена повысится на 5 пунктов за 40 дней. Если исходить из линейного изменения цены, то цена должна расти в среднем на 0,125 пунктов в день. Поэтому для завтрашнего дня (как дня выхода) мы возьмем значение U, равное 100,125. Для следующей даты выхода возьмем U, равное 100,25. К тому времени, когда указанная дата выхода станет датой истечения срока опциона, U будет равно 105. Если базовым инструментом является акция, то вы должны вычесть дивиденды из U, воспользовавшись уравнением (5.04). Тренд можно учитывать, если изменять каждый день значение U, исходя из сделанного прогноза. Так как уравнения (5.17а) и (5.176) изменятся, значения U повлияют на оптимальные f и побочные продукты. Отметьте, что в уравнениях (5.17а) и (5.176) используются новые значения U, т.е. происходит автоматическое приведение данных, следовательно, полученные оптимальные f будут основаны на данных, приведенных к текущей цене.
Когда вы будете использовать вышеописанную технику работы с оптимальным f, то заметите, что его значение каждый день меняется. Предположим, сегодня вы купили опцион и рассчитали оптимальную дату выхода. Послезавтра цена опциона может измениться, и если вы опять проведете процедуру расчета оптимального f, то также можете получить положительное математическое ожидание, но уже. другую дату выхода. Что это означает?
Ситуация аналогична лошадиным бегам, где можно делать ставки после начала скачки и до их завершения. Шансы постоянно меняются, и вы в любой момент можете обменять купленный билет на деньги. Скажем, до начала скачек вы ставите 2 доллара на определенную лошадь, основываясь на положительном математическом ожидании, и лошадь после первого крута прибегает предпоследней. Предположим, ваш билет, купленный за 2 доллара, стоит теперь только 1,50 доллара. Вы по-прежнему считаете, что математическое ожидание в пользу вашей лошади, исходя из результатов прошлых скачек и нынешних шансов. Вы решаете, что текущая цена билета в 1,50 доллара на 10% занижена. Можно получить деньги по билету, купленному до начала скачек за 2 доллара (сейчас он стоит 1,50 доллара), и можно также купить билет за 1,50 доллара, чтобы сделать еще одну ставку. Таким образом, вы получаете положительное математическое ожидание, но на основе билета за 1,50 доллара, а не за 2 доллара. Та же аналогия применима и к опционам, позиция по которым в настоящий момент немного убыточна, но имеет положительное математическое ожидание на основе новой цены. Вы должны использовать другое оптимальное f для новой цены, регулируя текущую позицию (если это необходимо), и закрывать ее, исходя из новой оптимальной даты выхода. Таким образом, вы используете последнюю ценовую информацию о базовом инструменте, что иногда может заставить вас удерживать позицию до истечения срока опциона. Возможность получения положительного математического ожидания при работе с опционами, которые теоретически справедливо оценены, сначала может показаться парадоксом или просто шарлатанством. Мы знаем, что теоретические цены опционов, найденные с помощью моделей, не позволяют получить положительное математическое ожидание (арифметическое) ни покупателю, ни продавцу. Модели теоретически справедливы с поправкой «если удерживаются до истечения срока». Именно эта отсутствующая поправка позволяет опциону быть справедливо оцененным согласно моделям и все-таки иметь положительное ожидание. Помните, что цена опциона уменьшается со скоростью квадратного корня времени, оставшегося до истечения срока. Таким образом, после первого дня покупки опциона его премия должна упасть в меньшей степени, чем в последующие дни. Рассмотрим уравнения (5.17а) и (5.176) для цен, соответствующих смещению на 4- Х и - Х стандартных величин по истечении времени Т. Окно цен каждый день расширяется, но все медленнее и медленнее, в первый день скорость расширения максимальна. Таким образом, в первый день падение премии по опциону будет минимальным, а окно Х стандартных отклонений будет расширяться быстрее всего. Чем меньше времени пройдет, тем с большей вероятностью мы будем иметь положительное ожидание по длинной позиции опциона, и чем шире окно Х стандартных отклонений, тем вероятнее, что мы будем иметь положительное ожидание, так как убыток ограничен ценой опциона, а возможная прибыль не ограничена. Между окном Х стандартных отклонений, которое с каждым днем становится все шире и шире (хотя со все более медленной скоростью), и премией опциона (падение которой с каждым днем происходит все быстрее и быстрее) происходит «перетягивание каната».
В первый день математическое ожидание максимально, хотя оно может и не быть положительным. Другими словами, математическое ожидание (арифметическое и геометрическое) самое большое после того, как вы продержали опцион 1 день (оно в действительности самое большое в тот момент, когда вы приобретаете опцион, и далее постепенно понижается, но мы рассматриваем дискретные величины). Каждый последующий день ожидание понижается, но все медленнее и медленнее. Следующая таблица иллюстрирует понижение ожидания по длинной позиции опциона. Этот пример уже упоминался в данной главе. Колл-опцион имеет цену исполнения 100, базовый инструмент стоит также 100; дата истечения — 911220. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы используем формулу товарных опционов Блэка (Н определяется из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Возьмем 8 стандартных отклонений для расчета оптимального f, а минимальный шаг тика примем равным 0,1.
