Пол Кривачек - Вавилон. Месопотамия и рождение цивилизации. MV–DCC до н. э.
Использование таких таблиц, чтобы выполнить умножение даже очень больших чисел, было относительно простым, однако деление представляло собой проблему. Вавилоняне решали ее способом аналогичным тому, который признают большинство людей, которые ходили в школу до последней трети XX в. В тех случаях, когда мы сверялись с таблицами десятичных логарифмов, что давало возможность выполнять большие вычисления с применением только сложения и вычитания, они использовали таблицы обратных величин: единица, поделенная на соответствующее число (например, величина обратная двум – это одна вторая, или 0,5, обратная четырем – одна четвертая, или 0,25, обратная пяти – одна пятая, или 0,2). С таблицами обратных величин под рукой они могли превращать деление в умножение, потому что деление на какое-то число – это то же самое, что умножение на обратную ему величину: 12 разделить на 4 – это то же самое, что 12 умножить на 0,25.
Часто использовали и другие таблицы – квадратов и кубов, равно как и корней квадратных и кубических. С ними вавилонские ученики справлялись с по-настоящему сложными математическими задачами. Они умели решать линейные уравнения – метод, схожий, как отмечают современные математики, с методом исключения Гаусса – квадратные и кубические уравнения, вычислять гипотенузу прямоугольного треугольника (теорема Пифагора) и площадь многоугольников, работать с окружностями и хордами окружностей – они называли их тетивой. Вычисленное ими приближенное значение пи составляло 31/8 или 3,125, что не сильно отличается от величины, которую используем мы, – 3,14159; по крайней мере, она ближе, чем значение 3, установленное в Библии приблизительно тысячелетием позднее.
Если все вышесказанное выглядит пугающе, то лишь потому, что оно выражено абстрактным языком современной математики. Вавилонские преподаватели придавали таким задачам более доступную форму. Как в школьных учебниках Викторианской эпохи, они помещали их в совершенно конкретные, практические ситуации. Как наши предки в XIX в. решали задачи типа «Если 8 человек за 14 дней могут скосить траву со 112 акров земли, то сколько нужно человек, чтобы за десять дней скосить траву с 2 тысяч акров?», так и вавилонские школьники бились над задачей: «С объемом земли равным 90 я захвачу город, враждебный Мардуку. С подножия земляной насыпи я прошел вперед 32 длины. Высота земляной насыпи – 36. Какое расстояние я должен пройти, чтобы захватить город?»
Выражение математики в форме практических задач распространялось даже на сложную алгебру. Если в наши дни мы можем попросить студента найти величину х в квадратном уравнении 11х2 + 7х = 6,25, то текст, относящийся приблизительно к 1800 г. до н. э., гласит: «Я прибавил семь раз сторону моего квадрата к его площади, увеличенной в 11 раз, и получил 6,15». В вавилонской шестидесятеричной системе счисления 6 и 15/60 представляют наше число 6,25, или шесть с четвертью[2]. Задача сводилась к тому, чтобы найти длину стороны квадрата (она была сформулирована в терминах воображаемой геометрии, в которой можно складывать длину и площадь). Там, где современный математик использует общую квадратичную формулу, вавилоняне получали решение таким образом: «Берешь 7 и 11. Умножаешь 11 на 6;15 и получаешь 1,8;45. Делишь 7 пополам и получаешь 3;30. Умножаешь 3;30 на 3;30. Прибавляешь результат 12;15 к 1,8;45, и результат 1;21 дает 9 в качестве квадратного корня. Вычитаешь 3;30, которое ты умножал само на себя, из 9 и получаешь 5;30. Величина обратная 11 не делится. Что я должен умножить на 11, чтобы получить в результате 5;30? Множителем является 0;30. Сторона квадрата равна 0;30».
Что характерно для Вавилонии, процедура нахождения решения подробно описана, но никогда не объясняется и не сводится к принципу. Один современный математик предположил, что такой подход знаком любому, кто помнит, как «подвергался обучению старомодной алгебре в высшей школе, когда учился решать, скажем, квадратные уравнения, решая большое количество задач с различными коэффициентами вместо формулировки и доказательства теоремы, показывающей раз и навсегда, как решать любое квадратное уравнение, какое может встретиться».
Так ли это – я должен убедиться
Предпочтение конкретного абстрактному, практики – теории, конкретных примеров – общим законам распространялось на все области учения, мышления и интеллектуальной жизни в Вавилонии. Оно стало самой значительной характеристикой этой высшей точки месопотамской цивилизации, а также до и длительное время после нее, что, возможно, являлось одной из причин, по которой грекам, поддерживавшим противоположный подход, всегда приписывали изобретение и открытие большего из того, что на самом деле было унаследовано ими от Месопотамии. Например, вавилонская теория музыки опередила Пифагора и Платона более чем на тысячу лет, но ее идеи были выражены в форме практических инструкций для настройки струн музыкальных инструментов.
Основы наук заложили задолго до Аристотеля. У истоков реальных знаний стоят наблюдение и классификация: систематика должна предшествовать зоологии – правильное изложение того, как организован живой мир, должно предшествовать теории эволюции. До каждого Чарльза Дарвина должен быть сначала Карл Линней.
После изобретения клинописи обучение грамотности основывалось на таблицах слов, так называемых лексических списках. Это были длинные серии названий растений и животных, скал и камней, предметов материальной культуры (различные материалы, выражения и грамматические формы). Писцы учились узнавать и воспроизводить многочисленные символы клинописи, переписывая эти списки – сначала простые значки, состоящие из нескольких клинышков, а позже приходил черед более сложных написаний. Естественно, если ученики должны были стать полностью грамотными, списки являлись всесторонними. Как следствие, большинство всех мыслимых черт жизни в Месопотамии и ее окрестностях в конечном счете свели в таблицы. Внесенные в списки слова были расставлены согласно расположению их значков-клинышков, сходству звучания или классифицированы по функции, форме, размеру или вещественному составу.
Обычно утверждалось, что здесь и находились истоки науки, что, составляя упорядоченные списки, месопотамцы применяли первые принципы систематики к реалиям своего мира. Однако теперь ученые признают, что если это и так, то это была наука не внешней реальности, а всего лишь письма. Возможно, ведь признание важности системы, образца и порядка, которое демонстрируют словарные списки, являлось частью обучения каждого образованного жителя Месопотамии, что, вероятно, и повлияло на то, как он видел свой мир.
Это особенно заметно в других документах, которые обычно находят в собраниях вавилонских текстов: табличках знамений – перечнях событий и необычных происшествий, которые им предшествовали и считались предсказаниями или предостережениями. Для нас тот факт, что за одним событием следует другое, необязательно означает, что первое как-то связано со вторым. Тем не менее, будучи обманчивой, вера в предзнаменования рассказывает нам кое-что важное о мировоззрении вавилонян. В их глазах мир основывался на законах и правилах: если происходит один случай, то за ним должен последовать другой. Для них это происходило не потому, как некоторые религиозные люди утверждают сейчас, что так определили Бог или боги по своей воле. Вавилоняне не считали, как даже современные каббалисты, что мир существует день ото дня лишь чудом. Они скорее замечали, что в основе мироздания лежат порядок и логика, которые при тщательном наблюдении могут быть раскрыты. В наши дни мы называем это наукой.
Астрология, по сути своей вавилонская, без сомнения является таковой – быть может, ложной и, безусловно, отвергаемой современным пониманием Вселенной. Но это просто современная нам точка зрения. Попытка найти будущее в звездах была, конечно, исследованием, основанным на законах, правилах, наблюдениях и выводах. Сюда же относились и знамения – искали в печени принесенных в жертву животных, в цифрах, образовывавшихся после попадания в воду растительного масла, в формах, которые принимал поднимавшийся дым, в необычных очертаниях на ночном небе, в рисунках туч и рождении необычных людей или животных:
«Если утробный плод мужской и женский: это знамение Азаг-Бау, которая правила страной. [Бывшая хозяйка таверны, которая стала знаменитой царицей Киша приблизительно в 2500 г. до н. э.] Страна царя будет захвачена.
Если утробный плод мужской и женский без яичек: сын дворца будет править страной или утвердит себя против царя.
Если это двойной плод с соединенными головами, восемью ногами и только одним хребтом: в страну придет разрушительная буря».
И хотя сейчас можно посмеяться над всем этим, тем не менее мы должны признать: сами прорицатели считали, что работают с наблюдениями, основывающимися на опыте. Они относились к полученным ими фактам с уважением, которое современные исследователи, безусловно, одобрили бы:
