Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
Ищется это число аналогичным способом.
Дело о картонных коробках
1. Размеры коробок составляли 6 × 6 × 1 и 9 × 2 × 2.
Пусть размеры коробок равны x, y, z и X, Y, Z. Тогда их объемы равны xyz и XYZ. Длина ленты равна 4 (x + y + z) и 4 (X + Y + Z). Исключив общий множитель 4, получим уравнения, которые необходимо решить:
xyz= XYZ
x + y + z = X + Y + Z
в ненулевых целых числах. То есть нужно найти две тройки чисел, произведение и сумма которых взаимно одинаковы. Наименьшее решение равно (x, y, z) = (6, 6, 1) и (X, Y, Z) = (9, 2, 2). Произведение равно 36, сумма равна 13.
2. Наименьшее решение для трех коробок равно (20, 15, 4), (24, 10, 5) и (25, 8, 6). Теперь произведение равно 1200, а сумма – 39.
По ходу дела мы можем ответить и на третий вопрос, который не фигурировал в расследовании Сомса.
3. Что, если коробки перевязаны лентами, как обычно (как на левом рисунке), где x – ширина, y – глубина, а z – высота? Тогда уравнения примут вид:
xyz = XYZ
x + y+ 2z = X + Y + 2Z.
Если мы заменим x, y, z на x, y, 2z и аналогично для X, Y, Z, то получится, что мы снова ищем тройки чисел с одинаковыми произведением (теперь это 2xyz = 2XYZ) и суммой. Однако при этом числа z и Z должны быть четными.
Это условие выполняется в решении (1), если мы расставим длины сторон в нужном порядке, что позволит нам получить наименьшее решение (6, 1, 3) и (9, 2, 1).
Мое внимание к этой задаче привлек Молой Де из Калькутты (Индия), нашедший также наименьшие наборы из четырех, пяти и шести чисел с одинаковыми произведениями и суммами.
Четыре набора:
(54, 50, 14) (63, 40 15) (70, 30, 18) (72, 25, 21)
Сумма = 118, произведение = 37 800.
Пять наборов:
(90, 84, 11) (110, 63, 12) (126, 44, 15) (132, 35, 18) (135, 28, 22)
Сумма = 185, произведение = 83 160.
Шесть наборов:
(196, 180, 24) (245, 128, 27) (252, 120, 28) (270, 98, 32) (280, 84, 36) (288, 70, 42)
Сумма = 400, произведение = 846 720.
RATS-последовательность
Следующий член последовательности – 1345.
Правило зашифровано аббревиатурой RATS и выглядит так: Reverse, Add, Then Sort («Перевернуть, сложить, затем сортировать»). Под «сортировать» подразумевается «расставить цифры в порядке возрастания». Любые нули при этом отбрасываются. К примеру:
16 + 61 = 77, порядок получается правильный;
77 + 77 = 154, переставляем цифры – получаем 145;
145 + 541 = 686, переставляем цифры – получаем 668;
668 + 866 = 1534, переставляем цифры – получаем 1345.
Джон Хортон Конвей предположил, что, с какого бы числа вы ни начали, со временем эта последовательность либо войдет в повторяющийся цикл, либо превратится в бесконечно возрастающую последовательность
123n4444 → 556n7777 → 123n+14444 → 556n+17777 → …,
где n обозначает не n-ю степень, а n одинаковых цифр подряд.
Математические даты
Следующий тройной палиндром будет 21:12 21/12 2112.
Следующий простой палиндром был 20:02 30/03 2002.
Собака Баскетболлов
– В самом деле, мадам, доктор Ватсап прав, – подтвердил Сомс. – Достаточно сообразить, что сдвинуто было всего четыре шара, и требуемая расстановка шаров становится очевидной.
– Но какая же это расстановка?
– Эту информацию, мадам, согласно вашему же собственному заявлению, мы можем раскрыть только старшему ныне живущему мужчине в роду.
– А именно лорду Эдмунду Баске́, – уточнил я, – который в настоящий момент находится в коме. Что делает нашу задачу весьма слож…
– Чепуха! – заявила леди Иакинф. – Вы можете сказать мне все.
По ее лицу было очевидно, что ничто на свете не заставит ее свернуть с избранного пути.
– Очень хорошо, – сказал Сомс, делая быстрый набросок. – Должно быть, пуд… э-э, гигантская слюнявая псина… сдвинула четыре каменных шара, изображенных здесь белым цветом, на позиции, обозначенные черным. Или, может быть, все произошло в соответствии с одной из двух других схем, которые возникают при повороте данного решения. Но вы сказали, что ориентация этой структуры не имеет значения.
Теперь я понял смысл загадочного вопроса, заданного им немного раньше.
– Чудесно! – обрадовалась леди Иакинф. – Я велю Вилликинсу поставить их обратно.
– Но разве это не нарушит условий церемонии? – поинтересовался я.
– Разумеется, доктор Ватсап. Но у нас нет никаких рациональных причин бояться каких бы то ни было неблагоприятных последствий. Этот древний запрет – лишь проявление старого… э-э… суеверия.
Месяцем позже Сомс вручил мне номер газеты Manchester Garble[36].
– Господи Боже! – воскликнул я. – Лорд Баске́ умер, а Баскет-холл выгорел дотла! Страховая компания, в которой было застраховано семейство, отказало в выплате, потому что действия Вредоносных сил абсолютного зла не подпадают под страховой случай. Род Баске́ разорен! Леди Иакинф помещена в лечебницу для неизлечимых душевнобольных!
Сомс кивнул.
– Чистое совпадение, я уверен, – сказал он. – Сейчас, задним числом, ясно, что мне, может быть, следовало сказать леди Иакинф насчет пуделя.
Цифровые кубы
370, 371 и 407.
Несмотря на то что эта задача вроде бы не имеет никакого математического значения, нужно обладать хорошими знаниями математики, чтобы найти все четыре ее решения, и очень хорошими, чтобы доказать, что других решений не существует.
Я попробую кратко описать один из возможных подходов.
Поскольку числа с начальными нулями исключаются, нам остается проверить всего 900 возможных комбинаций. Но их количество можно сократить. Кубы всех десяти цифр равны 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 и 729. Сумма трех кубов составляет не более 999, поэтому можно заранее исключить числа, содержащие две девятки, две восьмерки, восьмерку и девятку и т. д.
Предположим, одна из цифр – это нуль. Тогда искомое число представляет собой сумму двух кубов из нашего списка. Из 55 подобных пар лишь две, 343 + 27 = 370 и 64 + 343 = 407, обладают нужным свойством.
Далее мы можем считать, что ни одна из цифр числа не равна 0. Предположим, одна из них равна 1. Аналогичные вычисления дают нам 125 + 27 + 1 = 153 и 343 + 27 + 1 = 371.
Теперь мы можем считать, что ни одна из цифр не равна ни 0, ни 1. Список кубов, с которыми можно дальше работать, при этом немного сокращается. И т. д.
Кое-какие уловки, к примеру учет четности или нечетности чисел, также помогают сократить объем вычислений. Этот довольно медленный, но систематический подход – а Сомс рекомендует ко всему подходить систематически – приводит нас к результату без каких бы то ни было серьезных препятствий на пути.
Самовлюбленные числа
Здесь мы разрешим начальные нули:
четвертые степени: 0000 0001 1634 8208 9474;
пятые степени: 00000 00001 04150 04151 54748 92727 93084.
Без улик!
– Сомс! – воскликнул я. – Я ее решил!
– Да, убийца – графиня Лизелотта фон Финкельштейн, она ехала верхом на своем чистокровном жеребце по кличке Князь Игорь и вела в поводу трех упряжных лошадей, чтобы замаскировать следы на…
– Нет-нет, Сомс, речь не о вашем деле! Я о задаче!
Он бросил короткий взгляд на решение, которое я нацарапал на полях газеты.
– Верно. Случайное попадание, без сомнения.
– Нет, Сомс, я вывел его путем логических рассуждений на основе принципов, которые вы вложили в мою голову. Во-первых, я понял, что сумма чисел в каждой области должна равняться 20.
– Потому что полная сумма чисел во всех ячейках составляет (1 + 2 + 3 + 4) × 4 = 40 и ее следует поделить поровну между двумя областями, – не задумываясь отозвался Сомс.
– Именно. Далее, как только я решил сосредоточиться на большей области, решение начало складываться. В этой области четыре клетки в нижней строке – там должны быть числа 1, 2, 3, 4, расположенные в каком-то порядке; каким бы ни был порядок, сумма этих чисел равна 10. Так что оставшиеся три строки все вместе в сумме тоже должны дать 10. Единственный способ этого добиться – поставить в верхнюю строку числа 1, 2, 3 в каком-то порядке, а во вторую строку – 1 и 2 в каком-то порядке; третья строка в любом случае должна содержать 1.
– Почему?
– Любое другое число на этом месте сделает сумму слишком большой.
