Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

На основе инвариантности относительно группы Пуанкаре была пересмотрена и иерархия сохраняющихся величин, которые были объединены в единые комплексы. Обсуждая СТО, мы уже установили, что в случае пробной массивной частицы единый смысл имеет 4–вектор энергии–импульса: энергия представляет его временную компоненту, а импульс — три пространственные компоненты. При этом обе эти меры, определяющие 4–вектор, являются составляющими более общей единой меры — релятивистского тензора энергии–импульса ТаЬ (об этом подробнее см. Дополнение 2). Можно сказать, что 4–вектор энергии–импульса дополняется компонентами давления и внутренних натяжений, что в результате даёт тензор энергии–импульса. Этот тензор можно определить и для твёрдых тел, и для набора материальных частиц, и для сплошной среды, и для любого поля, распределённого в пространстве.

Подведём некоторый итог. Предположим, что физическая система в СТО замкнута, т. е. не взаимодействует с внешним миром. Тогда смещению по временной оси соответствует закон сохранения энергии; смещениям вдоль трёх пространственных осей соответствуют законы сохранения для каждой из компонент импульса; трём независимым пространственным вращениям соответствуют законы сохранения компонент углового момента. Наконец, трём независимым лоренцевым вращениям отвечает равномерное и прямолинейное движение центра инерции («центр энергии») всей системы, другими словами, выполняется обобщённый 1–й закон Ньютона, или обобщённый закон сохранения инерции. А если система не замкнута, и есть взаимодействие с другими системами? В этом случае те же симметрии дадут возможность рассчитать изменение величины той или иной физической характеристики (энергии, импульса, и т. д.).

Нелокализуемость сохраняющихся величин в ОТО

Энергия любит материю, но изменяет ей с пространством во времени.

Теперь, располагая определённым представлением о сохраняющихся величинах для физических систем в пространстве Минковского, обратимся к ОТО. Прежде всего отметим принципиальную разницу в трактовке пространства–времени. В СТО пространство–время — это арена, на которой разворачиваются физические взаимодействия, это «жёсткий каркас», по отношению к которому определяются сохраняющиеся величины, более того, симметрии «каркаса» однозначно связаны с ними. В ОТО ситуация сложнее: пространство–время играет двойственную роль. С одной стороны, оно остаётся ареной для физических взаимодействий материи, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во всех взаимодействиях. То есть для того чтобы определить сохраняющиеся величины в ОТО, их нужно определять совместно для материи и гравитационного поля. Более того, пространство–время в ОТО искривляется и меняется со временем, поэтому нет возможности определить симметрии, подобные тем, что определены в пространстве Минковского. Это означает, что нельзя определить сохраняющиеся величины отдельно для материи без гравитационного поля. Этот факт является ещё одним поводом задуматься над определением законов сохранения совместно для материи и гравитационного поля.

Роль пространства–времени, как «жёсткого каркаса», в СТО проявляется ещё и в том, что однозначно и без противоречий определяются плотности сохраняющихся величин. В этом случае говорят, что энергия и другие сохраняющиеся величины локализуются. В противоположность этому, в ОТО, где сохраняющиеся величины нужно определять совместно для материи и гравитационного поля, определение плотностей этих величин не является однозначным. С точки зрения основания гравитационной теории, эта проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности. Действительно, в малой окрестности свободно падающий наблюдатель ощущает себя в пространстве Минковского. Для него нет ни гравитационного поля, ни его характеристик, представленных энергией, импульсом и т. д. Но если посмотреть со стороны (с точки зрения другого наблюдателя), то падение первого как раз обусловлено действием гравитационных сил, которые совершают работу, ускоряя его. В результате, и лифт, и все его содержимое приобретают энергию, импульс. А это означает, что гравитационное поле обладает теми же характеристиками, Пример с лифтом наглядный и простой. В общем случае ситуация интерпретируется как нелокализуемость не только энергии и импульса, но всех (десяти) сохраняющихся величин ОТО.

Для сравнения вернёмся к теории Ньютона. В отличие от ОТО, здесь все взаимодействия происходят в абсолютном пространстве, и это даёт возможность дать локальные характеристики гравитационного поля. Правда, чтобы быть корректными, необходимо оставаться в рамках теории. Вспомним, что в самой теории Ньютона нет понятия поля. Оно было введено лишь опосредовано, в частности, для сравнения с ОТО. Более того, не определена «энергия покоя», поэтому она не определена и для статического поля. Однако есть понятие гравитационного потенциала, для точечной массы φ = - GM/r. Именно этой характеристикой определяется действие гравитационных сил и, благодаря наличию абсолютного пространства, определяется однозначно.

Многие критики ОТО, апеллируя к свойству нелокализуемости, говорят, что понятие энергии вообще отсутствует в ОТО, что другие сохраняющиеся величины также нельзя определить и использовать в ОТО. Это, конечно, не так. Гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, без всякого сомнения, даёт вклад в энергетические характеристики гравитирующих систем, но этот вклад определяется лишь нелокально. Примером может служить двойная система (двойная звезда). Ясно, что эта система существует благодаря гравитационной связи. Но как в ней распределена гравитационная энергия? Если мы запустим наблюдателя в качестве спутника одного из компонентов, то он, конечно, не определит ничего. Действительно, его состояние — это состояние свободного падения, и он себя ощущает как в пространстве Минковского (вспомните состояние невесомости космонавтов на орбитальной станции). Тем не менее, конечно, гравитационная энергия есть в наличии. Давайте извне «впрыснем» в систему энергию, в результате один из компонентов приобретёт достаточную скорость, чтобы покинуть своего собрата. Полная релятивистская (с учётом масс покоя) энергия системы до разлёта меньше, чем после, поскольку для разгона компонентов была добавлена положительная энергия. Разница — это и есть гравитационная энергия, энергия связи. Поскольку она была компенсирована «впрыскиванием» положительной энергии, то является отрицательной. Таким образом, нелокализуемость энергии в ОТО является лишь особым свойством теории.

Эйнштейн о проблеме определения энергии в ОТО

Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения либо для свободного гравитационного поля, либо для гравитационного поля вместе с материальными источниками. Он приходит к выводу, что законы сохранения должны определяться совместно для материи и гравитационного поля, Как оказалось, именно это требование в конечном итоге привело Эйнштейна к правильной формулировке уравнений.

Хотя, конечно, более рационально построить уравнения так, как изложено в Дополнении 5, чтобы удовлетворить требованиям совместности геометрической и материальной частей. Мы привели этот факт, чтобы подчеркнуть, насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения ещё в период построения ОТО.

Эйнштейн, интерпретируя нелокализуемость плотности энергии гравитационного поля, отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство такого поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы «локализации» гравитационной энергии. Так, рассматривая островную (изолированную) систему, Эйнштейн предложил следующее: «Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области В. Это будет только тогда, когда вне области В компоненты метрики постоянны, то есть когда рассматриваемая система как бы погружена в «галилеевское пространство», и мы пользуемся «галилеевскими координатами» для описания окружения системы». В данном случае «галилеевское пространство» играет роль пространства Минковского, относительно которого сохраняющиеся величины в СТО определяются однозначно. В СТО, однако, можно однозначно определить и плотности, а здесь только полные характеристики всей системы, поскольку «галилеевское пространство» определено только в окрестностях системы.