РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Отметьте, что оптимальное f приближается к 0, когда мы отодвигаем оба ограни­чительных параметра. Более того, так как проигрыш наихудшего случая увеличи­вается и делится на все меньшее оптимальное f, наше f$, т.е. сумма финансирова­ния 1 единицы, также приближается к бесконечности.

Проблему наилучшего выбора ограничительных параметров можно сфор­мулировать в виде вопроса: где могут произойти в будущем наилучшие и наи­худшие сделки (когда мы будем торговать в этой рыночной системе)? Хвосты распределения в действительности стремятся к плюс и минус бесконечности, и нам следует финансировать каждый контракт на бесконечно большую сум­му (как в последнем примере, где мы раздвигали обе границы). Конечно, если мы собираемся торговать бесконечно долгое время, наше оптимальное f в долларах будет бесконечно большим. Но мы не собираемся торговать в этой рыночной системе вечно. Оптимальное f, при котором мы собираемся торговать в этой рыночной системе, является функцией предполагаемых наилучших и наи­худших сделок. Вспомните, если мы бросим монету 100 раз и запишем, какой будет самая длинная полоса решек подряд, а затем бросим монету еще 100 раз, то полоса ре­шек после 200 бросков будет скорее всего больше, чем после 100 бросков. Таким же образом, если проигрыш наихудшего случая за нашу историю 232 сделок равнялся 2,96 сигма (для удобства возьмем 3 сигма), тогда в будущем мы должны ожидать проигрыш больше 3 сигма. Поэтому вместо того, чтобы ограничить наше распределение прошлой историей сделок (-2,96 и +6,94 сигма), мы огра­ничим его -4 и +6,94 сигма. Нам, вероятно, следует ожидать, что в будущем именно верхняя, а не нижняя граница будет нарушена. Однако это обстоятель­ство мы не будем принимать в расчет по нескольким причинам. Первая состоит в том, что торговые системы в будущем ухудшают свою результативность по сравнению с работой на исторических данных, даже если они не используют оп­тимизируемых параметров. Все сводится к принципу, что эффективность меха­нических торговых систем постепенно снижается. Во-вторых, тот факт, что мы платим меньшую цену за ошибку в оптимальном f при смещении влево, а не вправо от пика кривой f, предполагает, что следует быть более консервативными в прогнозах на будущее. Мы будем рассчитывать параметрическое оптимальное f при ограничи­тельных параметрах -4 и +6,94 сигма, используя 300 равноотстоящих точек данных. Однако при расчете вероятностей для каждой из 300 равноотстоя­щих ячеек данных важно, чтобы мы рассмотрели распределение на 2 сигмы до и после выбранных ограничительных параметров. Поэтому мы будем оп­ределять ассоциированные вероятности, используя ячейки в интервале от -6 до +8,94 сигма, даже если реальный интервал -4 — +6,94 сигма. Таким образом, мы увеличим точность результатов. Использование оптимальных параметров 0,02, 2,76, 0 и 1,78 теперь даст нам оптимальное f =0,837, или 1 контракт на каждые 7936,41 доллара. Пока ограничительные параметры не нарушаются, наша модель точна для выбранных границ. Пока мы не ожидаем проигрыша больше 4 сигма ($330,13 -(1743,23 * 4) =-$6642,79) или прибыли больше 6,94 сигма ($330,13 + + (1743,23 * 6,94) = $12 428,15), можно считать, что границы распределения бу­дущих сделок выбраны точно. Возможное расхождение между созданной моделью и реальным распределе­нием является слабым местом такого подхода, то есть оптимальное f, полученное из модели, не обязательно будет оптимальным. Если наши выбранные параметры будут нарушены в будущем, f может перестать быть оптимальным. Этот недоста­ток можно устранить с помощью опционов, которые позволяют ограничить воз­можный проигрыш заданной суммой. Коль скоро мы обсуждаем слабость данного метода, необходимо указать на последний его недостаток. Следует иметь в виду, что реальное распределение торговых прибылей и убытков является распределением, где параметры по­стоянно изменяются, хотя и медленно. Следует периодически повторять на­стройку по торговым прибылям и убыткам рыночной системы, чтобы отслежи­вать эту динамику.

Проведение тестов «что если»

После того как найдено параметрическое оптимальное f, можно реализовывать сценарии «что если» с помощью полученной функции распределения. Для этого нужно варьировать параметры функции распределения LOC, SCALE, SKEW и KURT для моделирования различных ожидаемых результатов (различных рас­пределений, которые могут быть в будущем). Мы знаем, как применять проце­дуру растяжения и сжатия в нормальном распределении, и похожим образом можем работать с параметрами LOC, SCALE, SKEW и KURT регулируемого распределения.

Рисунок 4-12 Изменение параметра расположения распределения

Сценарии «что если» при параметрическом подходе помогают смоделировать из­менения фактического распределения торговых P&L. Параметрические методы позволяют увидеть воздействие изменений на распределение фактических торго­вых прибылей и убытков до того, как они произойдут.

Когда вы работаете с параметрами, следует помнить о важной детали. При поис­ке оптимального f вместо того, чтобы изменять LOC, т.е. расположение распределе­ния, лучше изменять долларовую арифметическую среднюю сделку, используемую в качестве входного данного. Это видно из рисунка 4-12. Отметьте (см. рисунок 4-12), что изменение параметра расположения LOC передвигает распределение вправо или влево в «окне» ограничительных пара­метров, но сами ограничительные параметры при этом не двигаются. Таким образом, изменение параметра LOC также затрагивает количество равноотсто­ящих точек данных слева и справа от моды распределения. Если изменить фактическое среднее арифметическое (или использовать переменную сжатия при поиске f в нормальном распределении), «окно» ограничительных пара­метров передвинется. Когда вы изменяете арифметическую среднюю сделку или изменяете переменную сжатия в механизме нормального распределения, у вас остается то же число равноотстоящих точек данных справа и слева от моды распределения.

Приведение f к текущим ценам

В методе, описанном в этой главе, были использованы неприведенные данные. Мы можем использовать тот же подход для приведенных данных. Если необходимо оп­ределить приведенное параметрическое оптимальное f, то следует преобразовать необработанные торговые прибыли и убытки в процентные повышения и пониже­ния, основываясь на уравнениях с (2.10а) по (2.10в). Затем надо преобразовать по­лученные процентные прибыли и убытки, умножив их на текущую цену базового инструмента. Например, P&L номер 1 составляет 0,18. Допустим, что цена входа в этой сделке равна 100,50, тогда процентное повышение для этой сделки рав­но 0,18/100,50=0,001791044776. Теперь допустим, что текущая цена базового инструмента равна 112,00. Умножив 0,001791044776 на 112,00, получим приведен­ное значение P&L, равное 0,2005970149. Если мы хотим использовать приведенные данные, то следует провести анало­гичную операцию со всеми 232 торговыми прибылями и убытками. Затем следует рассчитать среднее арифметическое и стандартное отклонение по приведенным сделкам и использовать уравнение (3.16) для нормирования данных. Далее необ­ходимо найти набор оптимальных параметров LOC, SCALE, SKEW и KURT по приведенным данным так же, как было показано в этой главе для неприведенных данных. Процедура определения оптимального f, среднего геометрического и TWR аналогична уже рассмотренной нами. Побочные продукты: средняя геометрическая сделка, средняя арифметическая сделка и порог геометри­ческой торговли — действительны только для текущей цены базового инструмен­та. Если цена базового инструмента изменится, расчет следует повторить, вернув­шись к первому шагу, умножив процентные прибыли и убытки на новую цену базового инструмента. Когда вы перейдете к этой процедуре с другой ценой базово­го инструмента, то получите такое же оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Однако средняя арифметическая сделка, средняя геометрическая сделка и порог геометрической торговли будут другими в зависимости от новой цены базо­вого инструмента.

Количество контрактов для торговли, определяемое уравнением (3.34), также должно измениться. Ассоциированное P&L наихудшего случая (переменная W из уравнения (3.35)) будет другим в уравнении (3.34) в результате изменений, выз­ванных приведением данных к другой текущей цене.

Оптимальное F для других распределений и настраиваемых кривых

Существует много других способов, с помощью которых можно определить параметрическое оптимальное f. В предыдущей главе мы рассмотрели проце­дуру поиска оптимального f для нормально распределенных данных. Итак, у нас есть процедура, которая дает оптимальное f для любого нормально распре­деленного явления. Та же процедура используется для поиска оптимального/в любом распределении, если существует функция распределения (подобные функ­ции описаны для многих других распространенных распределений в приложе­нии В). Когда функции распределения не существует (т.е. когда функция плот­ности вероятности не интегрируется), оптимальное f можно найти с помощью численного метода, описанного в этой главе, приблизительно рассчитав функцию распределения.