Фрэнк Вильчек - Красота физики. Постигая устройство природы
Вот как новое включает в себя старое:
• Из сути строения материи – музыка. Не было никакой логической причины ожидать, что математика, разработанная для понимания музыки, должна иметь что-то общее с атомной физикой. Тем не менее оказалось, что одни и те же понятия и уравнения управляют обоими царствами. Атомы – это музыкальные инструменты, и свет, который они испускают, делает их звучание видимым.
• Из прекрасных законов – прекрасные объекты. Основные законы не постулируют существование атомов. Атомы появляются как следствие из них и при этом – как прекрасные объекты (см. вклейку СС). Описанные математически физические атомы – это трехмерные объекты, которые под влиянием одухотворенного таланта художника порождают образы исключительной красоты.
• Из динамики – постоянство. Основные законы – это уравнения, описывающие, как окружающий нас мир меняется во времени. Но у этих уравнений есть некоторые важные решения, которые не меняются во времени. Эти решения, и только они, описывают атомы, из которых состоит наш повседневный мир и мы сами.
• От непрерывности – к дискретности. Волновые функции, которые описывают электроны в атомах, – это поля вероятности (распределения вероятностей), которые наполняют пространство. Они непрерывны и напоминают облака. Но устойчивые формы облаков различимы по отдельности и несут на себе отметины Чисел.
Назад к Пифагору
Во время зарождения современной квантовой теории, конечно, никакого учебника по ней еще не было. Так называемые практики, жаждущие воспользоваться новой атомной теорией, вместо учебника обратились к другому предмету – книге лорда Рэлея «Теория звука». Именно там они нашли математику, необходимую для описания того, как работают атомы. Она была разработана ранее – для описания работы музыкальных инструментов! Хотя символы здесь обозначают другие вещи, в сущности появляются те же самые уравнения, для решения которых используются те же самые приемы. Пифагор был бы доволен.
Система йоги музыкальных инструментов
Физика музыкальных инструментов есть физика стоячих волн. Стоячие волны – это волны, существующие в конечных объектах или в ограниченном пространстве. Так, колебания струн музыкальных инструментов или звуковых дек и резонаторов в них – это стоячие волны, которые должны быть противопоставлены бегущим волнам. Например, когда мы говорим о звуковых волнах, мы обычно имеем в виду бегущие волны, которые распространяются или разбегаются от источника. Колебания крышки рояля, являющиеся стоячими волнами, толкают окружающий воздух в разные стороны. Движение части воздуха оказывает давление на другие части воздуха вокруг, которые оказывают давление на следующий слой воздуха, и т. д. В результате возникает возмущение, живущее своей собственной жизнью.
Стоячие волны – это вид движения, который вы создаете в налитой в ванну воду, когда шлепаете по ней или который наблюдается в колебаниях гонга или камертона после того, как их задели. В каждом из этих случаев – в шлепке по воде в ванне, ударе по гонгу или камертону – после шумного старта движение будет стабилизироваться, пока не станет регулярным в пространстве и периодическим по времени. В этом состоит суть камертона: он «хочет» вибрировать с определенной частотой и, таким образом, производит верный чистый звук. Обычный гонг производит более сложную и интересную комбинацию звуковых тонов. Мы скоро вернемся к этому вопросу.
Мы можем осветить йогу музыкальных инструментов более ясно, рассмотрев предельно простой инструмент, который на самом деле является пифагоровым, – туго натянутую струну, зажатую с двух концов (илл. 24). В простой одномерной геометрии отрезка конечной длины мы можем с первого взгляда отыскать естественный образец стоячей волны.
На иллюстрации сплошные и пунктирные линии показывают форму струны в различные моменты времени, демонстрируя четыре различных состояния стоячей волны (амплитуда, т. е. размер отклонения струны от средней линии, на иллюстрации сильно преувеличена, чтобы можно было ясно видеть саму волну). В промежуточные моменты точки на струне перемещаются вверх и вниз; составленная из них сплошная линия последовательно переходит в пунктирную, и наоборот, циклически.
Простые требования геометрии привносят целые числа и дискретность в описание этих непрерывных по сути фигур. Последние должны умещаться на длине струны! Идя сверху вниз и сравнивая картины, мы видим, что темпы изменений при движении вдоль струны слева направо отличаются по скорости в два, три, четыре раза.
Можно получить естественные колебания, которые соответствуют трем циклам, или двум, или четырем, или любому целому числу, но ничего между целыми числами быть не может. В результате естественные частоты нашего инструмента дискретны или, как мы говорим, квантованы.
Илл. 24. В простой одномерной геометрии отрезков конечной длины мы можем с первого взгляда отыскать естественные образцы стоячей волны. Они должны умещаться на длине отрезка! Эти простые геометрические правила требуют целых чисел и дискретности в описании поведения непрерывного объекта.
В отличие от ставшей притчей во языцех сферической коровы[55], наш пифагоров музыкальный инструмент не так оторван от реальности. Куда важнее, что урок, который мы извлекли из этого простого инструмента, – о том, что геометрические ограничения для конечных объектов ведут к дискретности (квантованию) их естественных форм колебаний и, следовательно, их естественных частот, – является идеально всеобъемлющим. Как мы вскоре увидим, в квантовой механике этот урок становится стержнем атомной физики.
Естественные колебания и резонансные частоты
Вы также можете получить стоячие волны деки гитары, когда дергаете ее струну, или квадратной пластины, когда ударяете по ней (илл. 25), причем волны можно сделать видимыми. Основная идея остается той же, что и та, которую мы обсуждали в случае с закрепленной струной. Стоячая волна – это движение вверх-вниз, которое в одних местах выше (или, на нашем жаргоне, имеет большую амплитуду), чем в других. Существуют линии, вдоль которых отклонение исчезает и движение отсутствует. Точки этих линий называются узлами, а сами линии – узловыми линиями. Если вы насыплете на пластину немного песка, то он соберется вдоль узловых линий – именно это вы видите на рисунке.
Для этих двумерных вибраторов[56] геометрия оказывается сложнее, чем для одной струны. Это отражается в формах собственных колебаний, которые становятся более сложными.
В этих примерах для того, чтобы выделить тот или иной простой рисунок колебаний, а не смешивать несколько, мы вводим силы, которые регулярно повторяют свое действие, или, как мы говорим, периодичны по времени. Гитара позволяет нам сделать это, щипая струны, – именно для этого ее струны и предназначены! В зависимости от того, насколько быстро происходят колебания возбуждающих сил (иначе говоря, в зависимости от их частот), будет доминировать тот или иной рисунок колебаний.
Для каждого собственного колебания картина повторяется во времени. Силы, которые каждый движущийся участок струны, дерева или металла передает на соседние участки, отличаются друг от друга для разных рисунков колебаний. Скорость, с которой все изменяется, также своя для каждого из них. Те рисунки, что очень быстро изменяются в пространстве, имеют свойство порождать большие силы и, следовательно, более быстрое движение с более высокой частотой. Каждый рисунок собственных колебаний происходит со своей собственной частотой.
Эта собственная частота также называется резонансной частотой, и вот почему. Если частота возбуждающей силы близка к собственной частоте какого-то режима колебаний, этот режим непременно возникнет, проявляя себя возрастанием амплитуды колебаний. Тогда и только тогда, когда внешняя возбуждающая сила цикл за циклом совпадает по направлению с внутренними силами, нарастает и амплитуда колебаний. Любой, кто хоть раз ритмично выпрямлял ноги и тело, чтобы раскачать качели, или качал на них ребенка, знает, как это важно.
Илл. 25. Рисунки вибрации, или стоячих волн гитарной деки, создают геометрические фигуры, которые отражают взаимодействие между формой и профилем дерева и частотой порождающей колебания струны
Когда вы ударяете по камертону или гонгу, колебания расходятся кругами от точки удара, затем отражаются от краев и возвращаются, как эхо. Сложные движения быстро отдают свою энергию в бегущие звуковые волны и тепло, оставляя одну (для камертона) или несколько (для гонга) относительно долго живущих стоячих волн, каждая из которых колеблется с резонансной частотой. Именно их вы слышите как однотонный звук или медленно меняющееся созвучие после шумного начала. Гонги создают меняющиеся созвучия, постепенно теряющие свою сложность и переходящие в звук на одной ноте, потому что в них могут существовать несколько долго живущих рисунков стоячих волн, которые угасают в разном темпе.
