Надежда Ефремова - Тестовый контроль в образовании
В IRT вводится представление о существовании взаимосвязи между наблюдаемыми результатами тестирования и латентными качествами испытуемых, такими как уровень учебных достижений по предмету на момент тестирования. В отличие от классической теории тестов, где индивидуальный балл тестируемого рассматривается как постоянное наблюдаемое число Xi, в IRT латентный параметр трактуется как некоторая переменная (латентная переменная), начальное значение которой получается непосредственно из эмпирических данных тестирования (например, первичный балл). При этом латентные параметры (уровень подготовленности испытуемого θi и уровень трудности задания βj) рассматриваются как результат взаимодействия двух множеств значений, порождающих наблюдаемые итоги выполнения теста. Элементами первого множества являются значения латентного параметра θi – уровня знаний N испытуемый: (i = 1, 2, ..., N). Второе множество образуют значения латентного параметра βi, соответствующего разной трудности заданий теста (j = 1, 2, ..., n). На практике всегда ставится задача оценить по ответам испытуемых значения параметров θ и β. Для ее решения выбирается вид соотношения между этими параметрами (математическая модель).
Оказалось, что эмпирически наблюдаемые результаты Xi и соответствующие им латентные значения уровня подготовленности испытуемых θi связаны нелинейно. Переменный характер измеряемой величины трудности задания βj также указывает на возможность последовательного приближения ее к объективным оценкам параметров при помощи итеративных методов в процессе апробации. Выбором математической модели установливается взаимосвязь между эмпирическими результатами тестирования и значениями латентных переменных: θ – уровень знаний испытуемых и β – уровень трудности задания.
Однопараметрическая модель датского математика Г. Раша (G. Rasch) устанавливает зависимость между уровнем подготовленности испытуемого (θi) и трудностью заданий (βj) [248]. Он предложил ввести это соотношение в виде разности между параметром уровня знаний испытуемых и параметром трудности заданий теста: θi−βj. При этом предполагается, что оба параметра оцениваются на одной и той же шкале логитов. Функция успеха, или вероятность правильного ответа Рj(θ) при тестировании задается простой логистической моделью:
где параметром является разность (θ−βj), абсолютная величина которой представляет в логитах расстояние между уровнем знаний данного испытуемого и уровнем трудности данного задания. Если эта разность велика и отрицательна, то такое трудное задание бесполезно для измерения уровня знаний данного тестируемого, в то же время если эта разность велика и положительна, то задание тоже не представляет интереса, оно неэффективно, так как такой уровень трудности данным тестируемым уже хорошо освоен.
Из логистической функции видно, что Pj(θ) растет с ростом параметра θ испытуемых, так как чем выше уровень знаний тестируемых, тем выше вероятность правильного ответа на–е задание теста. Взаимосвязь между этими параметрами хорошо просматривается по характеристической кривой–го задания теста, вид которой представлен на рис. 7. Точка перегиба соответствует равенству уровня знаний тестируемого и уровня трудности тестового задания, θ=βj, вероятность правильного ответа при этом равна 0,5. Вероятность правильного ответа для хорошо подготовленных испытуемых стремится к 1, а для плохо подготовленных – к 0. Увеличение трудности задания на некоторую константу с > 0 смещает характеристическую кривую вправо, с прежней вероятностью на такое задание теперь сможет ответить тестируемый с другим уровнем знаний, равным (θ + с).
В однопараметрической модели вероятность правильного ответа на задания выражается посредством логистической функции, после введения которой симметрично возникла математическая модель, описывающая вероятность правильного ответа в зависимости от трудности заданий [196]. Аналогично по формуле рассчитывается вероятность Рi(β) правильного ответа i – го испытуемого на разные по трудности задания теста:
Рис. 7. Характеристическая кривая тестового задания
Вероятность правильного выполнения i-м испытуемым будет убывающей функцией в зависимости от трудности заданий. График функции Рi(β), или график индивидуальной кривой испытуемого, показан на рис. 8.
Рис. 8. Индивидуальная кривая испытуемого: а – теоретическая, уровень знаний 0,5; б – эмпирическая, уровень знаний 0,6
В точке перегиба кривой вероятность правильного ответа, как и на характеристической кривой задания, равна 0,5. В процессе обучения, по мере накопления знаний, индивидуальная кривая испытуемого смещается вправо.
Двухпараметрическая модель А. Бирнбаума (А. Birnbaum) [231] была получена путем добавления к параметрам трудности заданий теста их дифференцирующей способности ?. В последнее время обработку эмпирических данных рекомендуется проводить на основе двухпараметрической модели, чтобы кроме латентного параметра трудности заданий теста можно было бы в широком диапазоне дифференцировать уровни знаний разных учащихся. Дифференцирующая способность является одной из важных характеристик заданий теста и определяется разностью долей правильных ответов слабой и сильной частей испытуемых в группе достаточно большой выборки (около 100 человек). Методика расчета достаточно проста: берут 27% испытуемых, имеющих наибольшие баллы, и 27% имеющих низкие баллы, считают долю правильных ответов в каждой группе рл и рх . Затем определяют дифференцирующую способность для каждого задания данного теста: αj= pл− px.
Например: на одно из заданий среди лучших правильно ответили 30 испытуемых из 40 (рл = 3/4), а среди худших правильный ответ у 10 из 40 (рх = 1/4), из чего следует, что αj = 1/2. Для других заданий расчеты делаются аналогично. Отметим, что для всех заданий теста значения дифференцирующей способности находятся в пределах от–1 до +1.
Вероятность правильного ответа на . – е задание в модели Бирнбаума записывается так:
где θ – уровень знаний тестируемых (переменная); βj· – трудность j – го задания; – параметр, характеризующий дифференцирующую способность j – го задания; (θ – βj) – разность на шкале логитов между уровнем знаний учащегося и уровнем трудности j–го задания. При геометрической интерпретации его связывают с крутизной характеристической кривой в точке перегиба: чем круче кривая, тем больше дифференцирующая способность задания.
Совершенствование модели привело А. Бирнбаума к необходимости введения третьего параметра, учитывающего фактор угадывания правильного ответа. Новая модель стала называться логистической трехпараметрической. Ввиду большой сложности конструирования такого теста и статистической обработки результатов она не получила широкого распространения, так же как и метод наибольшего правдоподобия и метод моментов [250].
Для моделирования теста и, тем более, для создания системы адаптивного тестового контроля важную роль играет информационная функция теста, позволяющая задать на оси латентной переменной (логистической шкале) интервал, в котором проводится измерение уровня подготовки испытуемых. Бирнбаумом она представлена в виде
где Ij (θ) – информационная функция; θ – уровень знаний испытуемого, латентная переменная; Pj(θ) – вероятность правильного ответа на задание j; Q. (θ) = 1—Pj(θ), Q – вероятность неправильного ответа на задание j; n – число заданий в тесте;
Информационная функция задает интервал, в котором работает данное задание, чем меньше этот интервал и круче характеристическая кривая, тем выше информативность и дифференцирующая способность такого задания. Это утверждение привносит дополнительные возможности в отбор заданий при формировании теста, позволяя варьировать диапазон заданий на шкале логитов. Введение информационной функции позволяет оценить точность педагогических измерений. Информативность задания обратно пропорциональна ошибке измерения, следовательно, речь может идти о дифференцированной оценке точности, обеспечиваемой j – м заданием теста данного уровня подготовленности θi.Каждому уровню подготовленности в соответствие ставится количество получаемой при измерении информации. Отсюда следует, что наиболее информативно измерение подготовленности i-го испытуемого будет j – м тестовым заданием с уровнем трудности в точке перегиба при равенстве θi=βj. Таким образом, чем ближе значение разности (θi−βj) к нулю, тем эффективнее подобрано задание и меньше стандартная ошибка измерения уровня подготовленности испытуемого.
