Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга?
— A что это за высказывание? — спросил я, сгорая от любопытства.
— Вот это вам и предстоит выяснить, — ответил Дракула. — Это и есть моя загадка.
С этими словами Дракула поднялся и направился к двери.
— B вашем распоряжении пятнадцать минут, — напомнил он. — Советую хорошенько подумать. Ставка столь высока, что стоит любых усилий.
Ставка действительно была высока! Нужно ли говорить, что следующие пятнадцать минут были самыми мучительными за всю мою жизнь. Страх настолько парализовал меня, что в голову не приходило ни одной дельной мысли. К тому же меня не покидало ощущение, что Дракула скрытно следит за мной.
Пятнадцать минут истекли. Дракула с торжествующим видом распахнул дверь и, плотоядно ухмыляясь, начал шаг за шагом приближаться ко мне. Расстояние между нами неумолимо сокращалось. Я уже ощущал прикосновение его клыков, когда мне внезапно пришла в голову спасительная идея.
— Стойте! — закричал я. — Как же я раньше не догадался! Высказывание S звучит так: «…»
Какое высказывание S спасло мне жизнь?
Эпилог
Разочарование от того, что я сумел разгадать загадку, оказалось непосильным для Дракулы: не сходя с места, он испустил дух и рассыпался в прах. И теперь, когда кто-нибудь спрашивает меня: «Жив ли граф Дракула?» — я с полным основанием могу, не погрешив против истины, ответить: «Бал!»
197.
В приведенной выше истории имеются четыре небольших несоответствия. Не могли бы вы указать их?
Решения
167. Высказанное трансильванцем утверждение либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно ложно. Тогда трансильванец не человек и не в здравом уме. Следовательно, он должен быть упырем, лишившимся рассудка. Но такие упыри высказывают только истинные утверждения, и мы приходим к противоречию. Значит, высказанное трансильванцем утверждение истинно. Такие утверждения могут высказывать только люди в здравом уме и упыри, лишившиеся рассудка. Если бы наш трансильванец был бы упырем, лишившимся рассудка, то он не был бы ни человеком, ни лицом, находящимся в здравом уме. Следовательно, высказанное им утверждение было бы ложным. Но мы знаем, что оно истинно. Следовательно, наш трансильванец должен быть человеком в здравом уме.
168. Он должен быть упырем, лишившимся рассудка.
169. Нет, не однотипен. На этот раз трансильванец должен быть упырем в здравом уме.
170. Человек в здравом уме на мой вопрос ответил бы отрицательно, а трансильванцы любого из трех остальных типов — утвердительно. Получив утвердительный ответ на свой вопрос, я не смог бы определить, к какому из четырех типов трансильванцев принадлежит мой собеседник. Но в условиях задачи сказано, что я узнал по ответу, кто мой собеседник. Следовательно, на мой вопрос он ответил не утвердительно. Значит, он ответил «нет», из чего мы заключаем, что трансильванец был человеком в здравом уме.
171. Из приведенной фразы нельзя заключить, был ли встречный человеком или упырем, но можно заключить, что он лишился рассудка. Человек в здравом уме не мог бы сказать о себе, что он упырь, а упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он упырь, и, солгав, заявил бы: «Я человек». С другой стороны, человек, лишившийся рассудка, считал бы себя упырем и заявил бы об этом. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, заявил бы: «Я упырь».
172. Единственное заключение, к которому можно прийти на основании сделанного трансильванцем заявления, состоит в том, что он упырь. Человек в здравом уме не сказал бы о себе, что он лишился рассудка. Человек, лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и, будучи человеком, не мог бы заявить о себе: «Я лишился рассудка».
173. Думаю, что таких утверждений X, Y существует немало, во всяком случае не одна пара. Я имел в виду следующие утверждения:
X: Если я в здравом уме, то я человек.
Y: Если я человек, то я в здравом уме.
Предположим, что некий трансильванец, высказывает утверждение X. Докажем, что Y должно быть истинно, то есть если наш трансильванец — человек, то он в здравом уме. Предположим, что он человек. Тогда верно, что если он в здравом уме, то он человек (так как он человек). Значит, X истинно. Следовательно, наш трансильванец должен быть в здравом уме, поскольку люди, лишившиеся рассудка, не высказывают истинных утверждений. Отсюда мы заключаем, что если он человек, то находится в здравом уме. Следовательно, Y — истинно.
Наоборот, предположим, что наш трансильванец высказывает утверждение Y. Требуется доказать, что X истинно. Предположим, что трансильванец в здравом уме. Тогда Y должно быть истинно. Следовательно, трансильванец — человек (потому что упыри в здравом уме не высказывают истинных утверждений). Значит, он человек (в предположении, что он находится в здравом уме). Итак, если наш трансильванец в здравом уме, то он человек. Следовательно, X истинно.
174. Ответы на оба вопроса задачи утвердительны. Предположим, что некий трансильванец считает истинным какое-то утверждение X. Отсюда, как нетрудно понять, отнюдь не следует, что X должно быть истинным, так как трансильванец мог утратить рассудок. Но если он считает, что X истинно, то X должно быть истинно! Действительно, предположим, что трансильванец в здравом уме. Так как он считает, что утверждение о том, что он считает утверждение истинным, истинно, то его утверждение «я считаю X истинным» должно быть истинно. Следовательно, он действительно считает утверждение X истинным. А так как он в здравом уме, то X должно быть истинным. Предположим теперь, что трансильванец лишился рассудка. Так как он считает, что утверждение о том, что он считает X истинным, истинно, то его утверждение «я считаю истинным» должно быть ложным. Следовательно, в действительности он не считает X истинным (ему только кажется, что он считает!). Так как трансильванец не считает X истинным и лишился рассудка, то X должно быть истинным.
Итак, доказано следующее. Если трансильванец считает, что он считает утверждение X истинным, то X должно быть истинным независимо от того, в здравом ли уме трансильванец или лишился рассудка. Аналогично можно доказать, что если какой-нибудь трансильванец не считает, что он считает утверждение X истинным, то X должно быть ложным. Доказать это мы предоставляем читателю.
175. Ответы на оба вопроса задачи (как следует из решения предыдущей задачи) должны быть утвердительными.
Предположим, что по утверждению A он считает высказывание X истинным. Тогда A действительно считает именно так, как говорит. Следовательно, A считает, что он считает утверждение X истинным. В этом случае, как показано в решении предыдущей задачи, X должно быть истинно независимо от того, в здравом ли уме A или лишился рассудка. Предположим теперь, что A — упырь. Тогда он не считает так, как говорит. Следовательно, A не считает, что считает X истинным. Значит, X должно быть ложным независимо от того, в здравом ли уме A или лишился рассудка.
176. A утверждает, что считает B человеком. B либо утверждает, что считает A человеком, либо утверждает, что считает A не человеком. Вторую альтернативу необходимо исключить, так как она приводит к следующему противоречию. Рассмотрим два утверждения.
1) A утверждает, что считает B человеком.
2) B утверждает, что считает A не человеком.
Предположим, что A — человек. Тогда, как показано в решении задачи 175, из утверждения (1) следует, что B — человек. В свою очередь из утверждения (2) следует, что A не человек. Поскольку A по предположению человек, то мы приходим к противоречию.
Предположим теперь, что A — упырь. Тогда, как показано в решении задачи 175, из утверждения (1) следует, что B не человек. Следовательно, B — упырь. Из утверждения (2) мы, как показано в решении задачи 175, заключаем, что A — человек. Но такой вывод противоречит предположению о том, что A — упырь. Значит, если бы B ответил отрицательно, то мы пришли бы к противоречию. Следовательно, B ответил утвердительно.
177. Ни к какому заключению прийти нельзя, так как на ваш вопрос любой трансильванец ответит утвердительно. Предоставляю вам самостоятельно убедиться в этом.
178. Случай, описанный в этой задаче, отличается от случая, рассмотренного в предыдущей задаче. Из ответа вашего собеседника нельзя заключить, человек он или упырь, но можно установить, в здравом ли он уме. Если встретившийся вам трансильванец в здравом уме, то он ответит «да». Если же он утратил рассудок, то на ваш вопрос последует отрицательный ответ. Доказательство предоставляем читателю.
179. Нет, нельзя. Не исключено, что ваш трансильванец — человек в здравом уме и граф Дракула жив. Возможно также, что ваш собеседник — упырь, лишившийся рассудка, и графа Дракулы нет в живых. (В действительности если вы обратились с вопросом к упырю, утратившему рассудок, то Дракула мог быть как живым, так и мертвым.)
