Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Теорема:√2 есть иррациональное число.

Доказательство: Предположим обратное: √2 есть число рациональное. В таком случае существуют некие положительные целые числа a и b, для которых верно, что

где дробь a/b – несократимая. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

или

что приводит нас к тому, что a² есть четное целое число. А если a² – четное, значит, четным является и a (по аналогии с недавним нашим доказательством того, что, если нечетное a умножить на само себя, результат будет также нечетным). То есть a = 2k, где k – целое число. Добавим это в свое уравнение и получим

То есть

что приводит нас к

и констатации того факта, что b² является четным числом. Значит, четным должно быть и b. Но постойте! Ведь при четных значениях как a, так и b дробь a/b никак не может быть несократимой! Это противоречит нашим исходным условиям. И завело нас в эту ловушку предположение, что √2 является рациональным числом. Поэтому нам не остается ничего иного, кроме как признать: число √2 – иррациональное.☺

Лично я нахожу это доказательство восхитительным (и смайлик в конце строки тому подтверждение): прямая и хорошо освещенная тропа чистой, ничем не замутненной логики приводит нас к удивительному умозаключению. В главе 12 мы еще увидим, насколько велик на самом деле процент иррациональных чисел. Практически все действительные числа являются иррациональными, притом, что в повседневной жизни мы с ними почти не сталкиваемся.

Из доказанной нами только что теоремы следует одно любопытное заключение (его, пожалуй, даже можно назвать сопутствующей теоремой – такой, условия которой вытекают из только что доказанной). Основано оно на следующем правиле возведения в степень, согласно которому для любых положительных значений a, b и c

То есть утверждение, что (5³)² = 56, будет вполне справедливым, потому что

Сопутствующая теорема: Существуют иррациональные числа a и b, при которых число ab будет рациональным.

Не пугайтесь, нам эта теорема вполне по плечу, хоть мы и знаем пока лишь одно иррациональное число – √2. Приведенное ниже доказательство является, по сути, доказательством существования: мы же пытаемся просто узнать, есть ли вообще такие a и b, а не определить их конкретные числовые выражения.

Доказательство: Раз уж мы знаем, что √2 является иррациональным числом, возьмем число Будет ли оно рациональным? Если да, то теорема доказана (поскольку и a и b равны √2). Если нет – что ж, по крайней мере мы узнаем еще одно иррациональное число примем и с помощью правила возведения в степень получим

то есть рациональное число. Следовательно, независимо от того, является рациональным или иррациональным числом, мы докажем, что ab будет рациональным числом при иррациональных значениях a и b.☺

Так обычно и выглядит любое доказательство существования чего бы то ни было: почти всегда остроумно и очень редко – исчерпывающе. (Кстати, уж коли зашла речь: число  – все-таки иррациональное число, но сейчас это для нас абсолютно не принципиально.)

Куда больше удовлетворения (равно как и куда больше существенной информации) получаешь, идя путем конструктивного доказательства. Одно из них, к примеру, – доказательство того, что любое рациональное число a/b либо вовсе не имеет цифр после запятой, либо эти цифры повторяются (иными словами, в затянувшемся делении b раз за разом становится делителем того числа, что уже делилось). Но будет ли верным обратное? Само собой, конечная десятичная дробь должна быть рациональным числом. Например, 0,12358 = 12 358/100 000. А если эта дробь – допустим, 0,123123123… – периодическая? Должна ли она быть рациональным числом? Ответ – да, и вот вам очень элегантный способ это доказать. А заодно и найти это самое число. Обозначим искомое буквой w (как в английском слове waltz, которое означает «проще простого»), то есть

Умножим обе части на 1000:

вычтем первое уравнение из второго:

и получим

Возьмем еще одну периодическую десятичную дробь, но на этот раз такую, в которой цикл повторения начинается не с первой после запятой цифры, а чуть позже.

Какой обычной дроби будет соответствовать десятичная 0,83333…? Начнем с

Затем сделаем так:

и так:

При вычитании 10x из 100x все, что стоит после запятой, отсекается, оставляя нас с

Значит,

Этот алгоритм позволяет нам с определенной долей уверенности утверждать, что число будет рациональным тогда и только тогда, когда его представление в виде десятичной дроби является либо конечным, либо периодическим. Иррациональной же будет та дробь, которая после запятой имеет бесконечное количество знаков, не образуюющих при этом цикл, например,

Доказательство методом индукции

Вернемся к теоремам о положительных числах. В главе 1 мы выяснили, что

и предположили, что сумма первых n нечетных чисел равна n². Позже мы это подтвердили, причем очень красиво и остроумно – с помощью комбинаторного доказательства, подсчитав двумя разными способами количество клеток на шахматной доске. А почему бы нам не попробовать другой метод – пусть и не такой эффектный, но при этом ничуть не менее эффективный. Предположим, я сказал вам (или вы просто верите в то), что первые 10 нечетных чисел 1 + 3 +… + 19 дают в сумме 10² = 100. Если вы с этим согласны, значит, прибавление следующего нечетного числа – 21 – даст нам уже 121, что равно 11². Другими словами, если мое утверждение правдиво для десяти чисел, оно будет правдивым и для одиннадцатого. В этом и состоит суть математического доказательства по индукции: сначала мы доказываем, что некое утверждение относительно числа n является изначально верным (обычно при n = 1), а затем показываем, что, если это верно для n = k, оно останется автоматически верным для n = k + 1 и так далее – для любого значения n. Доказательство по индукции подобно подъему по лестнице: поднявшись на первую ступеньку, вы имеете все основания и все возможности подняться и на вторую. Ну а старая добрая логика настойчиво подсказывает, что так вы рано или поздно сможете оказаться и на пятой, и на десятой, и на n-ной ступени.

Так, в примере с первыми n нечетными числами наша задача – показать, что при любом значении n ≥ 1

Мы видим, что сумма самого первого нечетного числа – 1 – и в самом деле составляет 1², то есть для n = 1 наше предположение абсолютно верно. Дальше нам следует обратить внимание на то, что, если сумма первых k нечетных чисел составляет k², а именно

при добавлении следующего нечетного числа (2k + 1) у нас получится