Чарльз Флауэрс - 10 ЗАПОВЕДЕЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ XX ВЕКА
Реальная история поисков решения задачи Ферма, разумеется, значительно сложнее сюжета бродвейского мюзикла, поскольку за несколько столетий в нее было вовлечено множество талантливых и ярких личностей, однако основная канва событий действительно может быть уложена в стандартную трехактную схему, характерную для голливудских фильмов: ученый находит доказательство, доказательство оказывается утерянным, его вновь обнаруживают после весьма сложных поисков. В настоящее время теорема считается доказанной (справедливости ради отметим, что доказательство является очень сложным и основано на математических открытиях XX века. Однако следует еще раз подчеркнуть, что это событие вовсе не стало важной вехой в истории самой математики, так что предлагаемые рассказ и обсуждение связаны лишь с ее необычной историей и исключительной популярностью.(Нельзя не упомянуть, что нездоровый интерес к доказательству теоремы со стороны любителей был в значительной степени подогрет объявленной в конце XIX века крупной международной денежной премией, которую отменили только после Первой мировой войны. – Прим. перев)
Пьер де Ферма (1601-1665 гг.) является, возможно, самым известным в истории ученым-любителем. Он был исключительно разносторонне одаренным и незаурядным человеком, счастливым отцом многочисленного семейства и известным юристом. Ферма много лет проработал в качестве парламентского советника во французском городе Тулузе и заслужил общее уважение своей принципиальностью и честностью. Одновременно он настолько серьезно и успешно занимался разнообразными научными изысканиями, что получил от современников прозвище Короля любителей. Ферма изучал и комментировал труды античных математиков, сумел (задолго до рождения Ньютона) обнаружить ряд закономерностей будущего интегрально-дифференциального исчисления и разработал основы целой области математики, известной в наши дни под названием теории чисел. (Пьер Ферма внес существенный вклад в развитие математики, но его главной заслугой в истории науки является установление так называемого вариационного принципа Ферма, ставшего основой геометрической оптики. – Прим. перев)
Время от времени Пьер Ферма озадачивал других математиков XVII века, рассылая им различные задачи, зачастую настолько сложные, что некоторые из адресатов (например, английские математики) часто считали его послания просто шуточными. Однако, насколько нам сейчас известно, о своей знаменитой теореме Ферма никому ничего не сообщал. Вся история теоремы началась с того, что он сделал на полях изданного в 1637 году латинского перевода математического древнегреческого трактата «Арифметика» Диофанта следующую запись: «Я нашел поистине чудесное доказательство этого утверждения, но за недостатком места не могу его привести здесь». Эта фраза стала одной из самых знаменитых в истории математики, хотя позднее историкам науки не удалось найти никаких следов общей формулировки теоремы или ее общего доказательства (если оно, конечно, действительно существовало). Задача стала известной лишь после того, как сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил запись на полях книги и включил ее в посмертное издание трудов своего отца.
Проблему удобнее всего описать, начав с теоремы Пифагора, которую большинство читателей должны помнить из школьного курса геометрии. Она названа в честь древнегреческого философа, сформулировавшего ее в VI веке до нашей эры, хотя, похоже, была известна еще 6 000 лет назад в древнем Вавилоне. В соответствии с ней, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы (а2 + Ь2 = с). Поразительные открытия XX века опровергли множество ранее существовавших теорий в самых разных науках (физика, астрономия, геология и т. д.), но теорема Пифагора может быть отнесена к вечным, незыблемым истинам, и каждый может проверить ее и вновь убедиться, что при указанных условиях а2 + Ь2 = с2. Тройки чисел, удовлетворяющих этому условию и выражающих эту геометрическую идею, в математике принято называть просто пифагоровыми числами. Читатель может запомнить простейшую комбинацию – если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то длина его гипотенузы равна 5 (поскольку З2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52).
Мы знаем, что в математике и физике существуют и другие, более сложные виды геометрий, но и для них справедливы численные соотношения теоремы Пифагора. В теории чисел не имеют значения ни скорость движения космического аппарата, ни квантовая неопределенность в поведении электронов человеческого мозга, занятого решением этой задачи, так что независимо от всех физических обстоятельств и соображений соотношение а + b2 = с остается справедливым для некоторых комбинаций положительных целых чисел (такие числа называют натуральными).
По-видимому, размышляя о незыблемости этой великой теоремы, Ферма случайно задал себе простой и даже напрашивающийся вопрос: если математическое соотношение справедливо для квадратов некоторых натуральных чисел, то должно ли оно выполняться для кубов и/или более высоких степеней каких-либо чисел? Существует ли, например, комбинация вида а9 + b9 = с9? Другими словами, справедлива ли теорема Пифагора вообще, в виде аn+ bn= сn для некоторых комбинациё чисел при п › 2?
Нам остается лишь поверить, что юрист Ферма сразу вынес свой вердикт и нашел безапелляционный ответ «Jamaisl». Никогда! Никоим образом! Ни одно положительное целое число (от 3 до о о) не может быть показателем степени, образующим пифагоровы числа. Единственным доказательством этого утверждения остается пометка самого Ферма на полях книги: «Я нашел поистине чудесное доказательство…», но почти никто из математиков не верит в то, что Ферма действительно мог его получить. В течение нескольких десятков лет после упомянутой публикации нескольким выдающимся ученым удалось доказать теорему Ферму для некоторых групп натуральных чисел (иногда эти группы были весьма внушительны по объему), но общее доказательство, справедливое сразу для всех положительных целых чисел, оставалось недоступным, так что число самых талантливых математиков, вовлекаемых в странное и необычное соревнование, постоянно увеличивается.
Как и полагается легенде, теорема обрела собственную историю. Сам Ферма доказал справедливость теоремы только для п = 4. Знаменитый математик, теолог и астроном Леонард Эйлер в начале XVIII века доказал теорему для п = 3, а уже к концу века удалось «покорить» числа п = 5 и п =7. В начале XIX века молодая француженка Софи Жермен смогла доказать справедливость теоремы для всех натуральных чисел, меньших 100 (в соответствии с обычаями своего времени она пользовалась при переписке мужским псевдонимом). Драматическим обстоятельствам ее жизни и выдающегося математического таланта была посвящена еще одна связанная с теоремой Ферма «математическая» постановка на Бродвее, названная «Доказательство», которая даже удостоилась весьма почетной премии Дэвида Осборна.
Самые блестящие математики занимались теоремой Ферма в течение трех веков, но можно с уверенностью заявить, что никому из них не удалось обнаружить то гипотетическое доказательство, которое, возможно, мгновенно угадал Ферма, когда записал на полях книги свою фразу о «…поистине чудесном доказательстве».
Английский математик Эндрю Уайлс позднее вспоминал, как он в десятилетнем возрасте впервые познакомился с теоремой Ферма по книжке из сельской библиотеки: «…она казалась удивительно простой…, но в книге утверждалось, что ее никто не может доказать в течение 300 лет. Мне сразу захотелось найти решение». Проблема выглядит исключительно простой: поскольку число 2 ничем, собственно, не выделяется в бесконечном ряду других натуральных чисел, совершенно непонятно, почему только это значение может создавать пифагоровы триады чисел. Долгое время (включая и время, затраченное на серьезную академическую деятельность) жизнь не позволяла Уайлсу заняться доказательством полюбившейся теоремы постоянно и целенаправленно. Одна из причин, кстати, состояла в том, что ни один серьезный студент-математик не мог себе даже позволить открыто заявить коллегам об интересе к считавшейся давно недоказуемой теореме Ферма (представьте себе, как отнесутся сегодня астрофизики к аспиранту, который захочет доказать им, что красного смещения не существует). Поэтому Уайлс сначала весьма благоразумно защитил в Кембридже докторскую диссертацию на классическую тему «применение теории чисел для анализа эллиптических кривых», перебрался в Принстонский университет (США) и лишь затем объявил о своем желании всерьез заняться проблемами и задачами, связанными с теоремой Ферма.
