Джефф Форшоу - Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть
Эта глава очень важна для всей книги, потому что здесь мы впервые попытаемся с помощью нашей теории объяснить явления реального мира. Весь наш труд до этого момента носил теоретический характер: мы разрабатывали особый «формализм» – способы представления квантовой частицы. Принцип неопределенности Гейзенберга и уравнение де Бройля стали венцом наших усилий, но в целом мы вели себя достаточно скромно, рассматривая Вселенную как состоящую из одной-единственной частицы. Теперь пора показать, как квантовая теория влияет на наш повседневный мир. Структура атомов – вещь исключительно реальная и осязаемая. Вы состоите из атомов: их строение – это ваше строение, их стабильность – ваша стабильность. Можно без особого преувеличения сказать, что понимание структуры атомов – одно из непременных условий понимания Вселенной в целом.
В атоме водорода электрон заперт в области, окружающей протон. Начнем с того, что представим, будто этот электрон заперт в своего рода ящике, что, впрочем, не так далеко от истины. Мы займемся исследованием того, до какой степени физика электрона, запертого в маленьком ящике, отражает ключевые особенности реального атома. Мы продолжим использовать то, что усвоили из предыдущей главы по поводу волновых свойств квантовых частиц: когда дело доходит до описания атомов, волновая картина действительно все упрощает, и мы можем добиться серьезного прогресса, не особенно беспокоясь по поводу уменьшения, добавления и смещения часов и их стрелок. Однако нужно все время держать в уме, что волны – это удобное приближение к тому, что происходит «под покровом». Так как структура, разработанная нами для квантовых частиц, очень близка к той, что описывает водяные волны, звуковые или волны гитарной струны, рассмотрим сначала поведение этих знакомых нам материальных волн в условиях определенного рода ограничений.
В целом следует сказать, что волны – сложные объекты. Представьте, что вы прыгаете в бассейн, полный воды. Вода немедленно начнет расплескиваться, и, кажется, не получится описать происходящее какими-то простыми методами. Однако за этой сложностью таится скрытая простота. Ключевым фактором будет ограниченность воды бассейном, то есть все волны в нем заперты. Это порождает феномен, известный под названием стоячей волны. Стоячие волны скрыты от нас в том беспорядке, который мы видим после своего прыжка в бассейн, но есть способ заставить воду «осциллировать» – двигаться в форме регулярных, повторяющихся колебаний стоячих волн. Рис. 6.1 показывает, как выглядит водная поверхность после того, как подвергнется одному такому колебанию. Максимумы и минимумы восходят и нисходят, но самое важное – то, что они восходят и нисходят строго в одном и том же месте. Есть и другие стоячие волны, в том числе такая, где вода в центре цистерны ритмически поднимается и опускается. Эти особые волны мы обычно не видим, потому что их трудно создать, но смысл в том, что абсолютно любое возмущение воды – даже вызванное нашим не самым элегантным нырком и последующей отчаянной молотьбой руками – может быть представлено в виде некоего сочетания различных стоячих волн. Мы уже встречались с таким типом поведения – это прямое обобщение идей Фурье, с которыми мы познакомились в прошлой главе.
Рис. 6.1. Шесть последовательных срезов стоячей волны в цистерне с водой. Ось времени направлена от верхнего левого к нижнему правому снимку
Там мы видели, что любой волновой пакет может состоять из сочетания волн определенной длины. Эти особые волны, отражающие состояние частицы с определенным импульсом, – синусоиды. В случае с запертыми водяными волнами можно сделать обобщение, что любое возмущение воды всегда можно описать с помощью какого-то сочетания стоячих волн. Позже в этой главе мы увидим, что стоячие волны имеют в квантовой теории важную интерпретацию: собственно говоря, в них содержится ключ к пониманию строения атома. Держа это в уме, рассмотрим стоячие волны более пристально.
На рис. 6.2 показан еще один пример стоячих волн в природе – три из множества возможных стоячих волн на гитарной струне. Когда мы трогаем гитарную струну, мы слышим звук, который определяется стоячей волной наибольшей длины – первой из трех, показанных на рисунке. И в физике, и в музыке это известно под названием низшей гармоники, или основного тона. Волны другой длины обычно тоже присутствуют и называются обертонами, или высшими гармониками.
Рис. 6.2. Три волны наибольшей длины, которые могут возникнуть при переборе гитарной струны. Самая длинная волна (сверху) соответствует нижней гармонике (основному тону), а остальные – высшим гармоникам (обертонам)
Две другие волны на рисунке – это два обертона с наибольшими длинами волн.
Гитара – отличный пример: довольно легко понять, почему гитарная струна может вибрировать только на этих конкретных волнах. Дело в том, что она фиксирована на обоих концах: с одной стороны – кобылкой[22], а с другой – пальцами, прижимающими струну к грифу. Это значит, что в двух этих точках струна не может двигаться, что и определяет разрешенные длины волны. Если вы играете на гитаре, вы инстинктивно понимаете такую физику: перебирая пальцами по грифу по направлению к кобылке, вы уменьшаете длину струны, тем самым заставляя ее колебаться с меньшей длиной волны, что соответствует более высоким нотам.
Нижняя гармоника – это волна, которая имеет всего две стационарные точки, или «узла»; во всех остальных точках она движется. Как видно на рисунке, длина волны звука равна двойной длине струны. Следующая, меньшая длина волны уже равняется длине струны, потому что мы можем видеть еще один узел в центре. Затем можно получить волну с длиной в ⅔ длины струны и т. д.
В целом, как и в случае с водой, запертой в бассейне, струна будет вибрировать в каком-то сочетании различных возможных стоячих волн, в зависимости от того, как именно тронута струна. Конкретную форму струны всегда можно получить, сложив стоячие волны, соответствующие каждой из имеющихся гармоник.
Гармоники и их относительные размеры дают характерный тон звука. У разных гитар будет разное распределение гармоник, поэтому и звучать они будут по-разному, но среднее до (чистая гармоника) на одной гитаре практически совпадает со средним до на другой.
Для гитары форма стоячих волн очень проста: это чистые синусоиды, и их длина фиксирована длиной струны. Для случая с бассейном стоячие волны более сложные, что показано на рис. 6.1, но общая идея такая же.
Возможно, вас интересует, почему эти конкретные волны называются стоячими. Дело в том, что они не меняют своей формы. Если мы сделаем два снимка гитарной струны, колеблющейся в форме стоячей волны, то эти две фотографии будут отличаться только общим размером волны. Пики будут всегда находиться в одних и тех же местах, как и узлы, которые фиксируются концами струны или, в случае с бассейном, его бортиками.
С математической точки зрения можно сказать, что волны на двух фотографиях отличаются только общим множителем. Этот множитель периодически колеблется со временем и отражает ритмические колебания струны. То же самое верно и для бассейна на рис. 6.1, где каждая фотография отличается от остальных общим множителем. Например, последняя фотография может быть получена из первой посредством умножения высоты волны в каждой точке на −1.
Иными словами, волны, каким-то образом ограниченные, всегда можно выразить в виде суммы стоячих волн (то есть тех, которые не меняют своей формы), и, как мы уже сказали, есть довольно серьезные причины посвятить им столько времени. Главная из них – стоячие волны квантованы. Это совершенно очевидно для стоячих волн на гитарной струне: длина основного тона в два раза превышает длину струны, а следующая по длине возможная волна равняется длине струны. Между этими двумя волнами стоячей волны с какой-либо промежуточной длиной быть не может, так что можно сказать, что разрешенные длины волн на гитарной струне квантованы.
Таким образом, с помощью стоячих волн проявляется следующее: «запирая» волны, мы что-то квантуем. В случае с гитарной струной это, очевидно, длина волны. В случае с электроном внутри ящика квантовые волны, соответствующие электрону, тоже будут заперты, и по аналогии можно ожидать, что в ящике будут присутствовать лишь волны с определенным, конкретным набором длин волн, а, следовательно, нечто вновь будет квантовано. Другие волны просто не могут существовать, как гитарная струна не может одновременно звучать всеми нотами в октаве. И общее состояние электрона, как и звук гитары, описывается смешением стоячих волн. Эти квантовые стоячие волны начинают выглядеть очень интересно. Заинтригованы? Приступаем к анализу.
