Рафаель Роузен - Математика для гиков

Художник-график из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер провалил экзамены, которые позволили бы ему заниматься архитектурой. Но поездка в Альгамбру, мавританский дворец XIV века, вдохновила его сконцентрироваться на создании рисунков, которые полностью заполняли бы пространство. Остальное уже история.

3.2. Существуют 177 147 способов завязать галстук

Математические понятия: геометрия, топология

Источник вдохновения для математики можно найти повсюду. Например, у математика Микаэля Вейдемо-Йоханссона из Института Йозефа Стефана в Словении возникла идея во время просмотра «Матрицы». Он заметил, что персонаж Меровинген носил галстуки с необычными узлами; один из них больше всего ему запомнился, так как складывалось впечатление, что сам галстук носил галстук. Заинтригованный, Микаэль провел исследование и выяснил, что команда из Кембриджа опубликовала исследование об узлах в математике. Два исследователя разделили завязывание галстука на серию шагов, которые могут быть представлены в виде букв. (Вот некоторые из них: «Л» – влево, «П» – вправо, «Ц» – центр, «Т» – когда конец галстука продевается через узел.) Они разделили возможные узлы на 101 категорию, в зависимости от общего количества действий и количества центрирующих движений – в общей сложности получилось 85 узлов.

Однако проблема заключалась в том, что узел Меровингена в этот список не входил. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что исследователи из Кембриджа – Йон Мао и Томас Финк – сделали два предположения, которые ограничили количество возможных узлов. Во-первых, они поставили условие, что все узлы должны быть покрыты ровным куском галстучной ткани, а во-вторых, движение, при котором один конец галстука вставляется в узел, должно выполняться в самом конце процесса. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что если бы он упростил формальный язык представления узлов галстуков и увеличил количество раз, когда один конец галстука мог оборачиваться вокруг другого, с 8 до 11, то он получил бы 177 147 возможных узлов. Он и еще два его товарища нашли 2046 категорий для петляющих узоров, которые могут потребовать до 11 действий.

Так что в следующий раз, когда вам надоест, как вы завязываете свой галстук, вспомните, что у вас достаточно вариантов, которых хватит вам на всю оставшуюся жизнь!

Когда вы только начали носить галстуки, вы, вероятнее всего, познакомились с простым узлом, который легче всего завязывается. Узел «Виндзор» – это более сложный узел, он стал популярным благодаря герцогу Виндзорскому и лучше всего подходит для рубашек с широким воротником.

3.3. Малоизвестные связи между музыкой и математикой

Математические понятия: теория чисел, пропорции

У музыки и математики всегда были тесные отношения. Начиная с эпохи пифагорейцев и древних греков до композиций Баха, которые порой звучат как теоремы, превращенные в звук, и сложной структуры нотной грамоты – с четвертными нотами, гаммами и темпом, – музыка воплощает математику таким образом, как это могут делать не многие дисциплины. С одной стороны, математика в музыке очевидна: числа встречаются повсюду. Например, некоторые произведения имеют размер 4/4, вальсы – 3/4, а славянская музыка – 12/16. Некоторые ноты звучат в течение всего такта, другие же только 1/16 долю этого такта. Темп относится к количеству ударов в единицу времени. Метры говорят музыканту, сколько ударов в каждом такте и какая нота должна получить удар. Неважно, куда вы смотрите, музыка пронизана математикой.

Однако с другой стороны, математика в музыке не так очевидна, но эта спрятанная математика является основой всей музыки, независимо от того, в каком уголке мира она встречается. Этот скрытый математический аспект – характеристика музыкальных интервалов. Сыграйте две ноты на пианино одновременно, и в результате сочетание нот прозвучит или благозвучно, или ужасно.

Одним из самых благозвучных сочетаний из двух нот или интервалов является октава, в которой соотношение частот между звуками составляет 1:2. Если вы посмотрите на клавиши пианино, то примером октавы будет центральная нота «до», сыгранная вместе со следующей нотой «до». (Две ноты «до» будут отделять шесть белых клавиш.) Октавы также можно представить в виде соотношений. Так как одна нота в каждой октаве имеет частоту, которая будет в два раза выше, чем у другой, то соотношение будет равно 2:1. У других интервалов будут свои соотношения, а также определения «чистые», «уменьшенные», «увеличенные». (Понятие «чистого» интервала относится к интервалу, который наиболее благозвучен для большинства людей. «Увеличенный» интервал – это «чистый» интервал, к которому добавили полутон. Например, сочетание нот «до» и «соль» дают чистую квинту, а ноты «до» и «соль-диез» – черная клавиша или полутон выше «соль» – дают увеличенную квинту.) Соотношение чистой квинты равно 3:2, а соотношение большой терции – интервала, состоящего из 4 полутонов, – 5:4. Когда мы думаем о комбинациях нот в плане соотношений, это помогает выявить скрытую математику в музыке, которую мы слышим каждый день.

Используя технологии, разработанные в 1950-х для улучшения морских гидролокаторов, математик Скотт Рикард создал музыкальное произведение без повторов, но это не значит, что оно было абсолютно беспорядочно, и назвал его «самой неприятной музыкой в мире».

3.4. Игра Го

Математическое понятие: комбинаторика

Многие игры имеют математическое подспорье, но, пожалуй, одна из них выделяется больше всех – это игра Го. Считается, что она была изобретена в Китае примерно 4000 лет назад. Эта игра особенно популярна в Китае, Японии и Корее и постепенно завоевывает западное сознание. (Например, американская ассоциация Го была создана лишь в 1935 году.) Правила игры просты: у одного игрока есть коллекция черных камней, а у другого – белых. Доска, которая обычно сделана из дерева, разделена на 19 × 19 линий, то есть сетка состоит из 19 полос и 19 столбиков. Игроки ставят камни на пересечении линий сетки с целью захвата и защиты территории. Вы можете захватить вражеский камень, окружив его своими камнями. Когда камень окружен, его убирают с доски.

Го практически утопает в математике. Например, посчитайте количество допустимых позиций: чуть больше, чем 2 × 10170, а когда вы узнаете, что число атомов в известной нам Вселенной равно примерно 1084, то эта цифра покажется еще невероятнее. Большие числа появляются также, когда вы сравниваете Го с шахматами. Когда в шахматы играет компьютерная программа, она может проанализировать последствия каждого хода, вплоть до семи ходов вперед. Но если компьютер применил бы эту технику к Го, то у него бы быстро случилась перегрузка. В шахматах компьютер может прорабатывать до 60 миллиардов возможностей во время каждого хода. Однако, чтобы думать на семь ходов вперед в Го, компьютеру придется просмотреть 10 000 триллионов возможностей.

Эта игра также помогла появиться совершенно новому классу чисел. В 1970 году математик Джон Конвей из Кембриджского университета изучал игру Го, в которую играли два мастера, и в результате пришел к идее сюрреальных чисел. Вы можете рассматривать сюрреальные числа как наборы инструкций, чтобы найти определенные числа на числовой прямой с помощью серии движений вверх и вниз. Все действительные числа – которые состоят из целых чисел, дробей, положительных, отрицательных и иррациональных чисел – считаются сюрреальными, но некоторые сюрреальные числа не являются действительными. В сущности, сюрреальные числа – это новый набор чисел (как рациональные или целые числа), которые вы можете найти на числовой прямой с помощью серии ходов: вниз, вверх, влево, вправо. Одним особенно большим сюрреальным числом является омега, это число на числовой прямой, когда вы следуете вправо бесконечное количество времени. (Омега – это наименьшее сюрреальное число, которое больше, чем любое действительное число.) В любом случае, толчком для этого открытия стала игра Го, и по сей день она приносит математическое удовольствие миллионам людей по всему миру.

Отелло – это игра, чем-то напоминающая Го, ее изобрели в 1880-х два англичанина, изначально она называлась Реверси, хотя игры имеют достаточные различия. В обеих играх игроки окружают камни противника, в Отелло окруженные камни, черные с одной стороны и белые с другой, переворачиваются. В Го окруженные камни остаются того же цвета. Кроме того, доска в Отелло имеет разлиновку 8 × 8, что куда меньше, чем 19×19 в Го.

3.5. Шахматная доска и пшеница

Математическое понятие: геометрическая прогрессия

Существует история, согласно которой визирь при дворе короля Ширхама в Индии Сисса Бен Дахир изобрел игру в шахматы. Довольный изобретением Дахира король Ширхам предложил ему выбрать в качестве дара то, что он захочет. Сисса Бен Дахир попросил, казалось бы, безобидный дар: одно зерно пшеницы за первый квадрат шахматной доски, два за второй, четыре за третий и так далее, каждый последующий квадрат получал в два раза больше зерна, чем предыдущий. Мы можем представить этот процесс в виде суммирования: 20 + 21 + 22 + 23 +… 263. (Мы остановились на 63, так как, хоть и на доске 64 квадрата, степень первой 2 равна 0, а не 1.) Такое суммирование, где число остается неизменным, а степень растет с каждым шагом прогрессии, называется геометрической прогрессией. И хоть и кажется, что сумма будет не такой уж большой, она на самом деле будет огромной. На деле это число будет равно числу шагов, которые необходимы, чтобы решить задачу Ханойской башни, то есть 18 446 744 073 709 551 615 (см. главу 3.4). Если предположить, что в тонне пшеницы примерно 100 миллионов зерен, Сисса Бен Дахир попросил примерно 200 миллиардов тонн пшеницы. Действительно ошеломительное количество.