Алексей Шилейко - Информация или интуиция?
НЕСКОЛЬКО СТАРЫХ ПИСЕМ
«Герцог Роанекий имеет склонность к математике. Чтобы не скучать во время путешествий, он запасся одним пожилым человеком. Этот господин был в то время еще очень мало известен, но потом о нем стали говорить. Это сильный математик, не знающий, впрочем, ничего, кроме математики, — науки, вовсе не имеющей значения в свете. И вот этот человек, не обладающий никаким вкусом и тактом, постоянно вмешивался в наши разговоры, причем почти всегда удивлял нас и часто вынуждал смеяться… Так прошло два или три дня. Постепенно он становился менее уверен в себе, стал только слушать и спрашивать и завел себе памятную книжку, куда вносил разные замечания… Мало-помалу он стал говорить гораздо разумнее прежнего и сам радовался, что так изменился. Радость его была необычна, и он выражал ее каким-то таинственным образом: говорил, например, что любил многие вещи, так как был уверен, что другие не могут знать того, что он знает.— Наконец, — сказал он, — я вышел из этих диких мест и вижу чистое и ясное небо. Уверяю вас, что я не привык к яркому свету, что я был ослеплен им, а потому сердился на вас; но теперь я привык, этот свет восхищает меня, и я жалею о потерянном времени.После своего путешествия этот человек перестал думать о математике, до тех пор его занимавшей!»Мы привели отрывки из письма некоего кавалера де Мере, писанного во второй половине XVII века. Приведем заодно и характеристику кавалера де Мере, данную ему одним из его современников. Кавалер де Мере был в полном смысле тип блестящего салонного философа, как раз под пару тем ученым дамам, которых изобразил Мольер в своей комедии «Жеманницы». Кавалер был именно такой жеманницей мужского рода. Он оставил немалое количество сочинений, принесших ему немного чести. Весьма образованный для дворянина того времени, знавший древние языки, умевший пересыпать свою речь цитатами из Гомера, Платона и Плутарха, кавалер де Мере в своих сочинениях частью обкрадывал древних и новых писателей, частью изрекал банальные афоризмы. Девиз кавалера де Мере: «Всегда быть честным человеком!» — не мешал ему вести отчаянную игру и оставить после себя долги, разорившие всех его кредиторов.Однако зачем цитировать письмо какого-то французского великосветского пустомели, да еще жившего 300 лет тому назад?Письмо это во многих отношениях примечательное. Начнем с того, что «пожилым человеком», о знакомстве с которым повествует кавалер де Мере, был не кто иной, как великий Блез Паскаль. Примечательно письмо и как пример того, сколь мало проницательности, да и просто обычной наблюдательности может быть у человека, если он не очень умен да, кроме того, глаза ему застит светская спесь.Б. Паскалю, когда, по всей вероятности, он впервые встретился с кавалером де Мере, было всего 28 лет. Правда, он мог выглядеть несколько утомленным, так как перед этим сделал свои обессмертившие его имя открытия о распределении давления в жидкостях и газах. Кроме того, он только что потерял отца. Именно желание отдохнуть и слегка развлечься побудило его от правиться в путешествие с герцогом Роанским, Но все же нельзя назвать пожилым человека 28 лет от роду! Кстати сказать, Б. Паскаль был достаточно красив и именно в рассматриваемое время влюблен в сестру герцога Шарлотту Роанскую.Что математика — «наука, вовсе не имеющая значения в свете», это кавалеру де Мере виднее. Спорить мы с ним не станем; а вот то, что Б. Паскаль после путешествия перестал думать о математике?.. Но давно уже пора открыть наш главный секрет. Мы бы, конечно, ни в коем случае не стали рассказывать о знакомстве Б. Паскаля с кавалером де Мере, если бы это знакомство не послужило толчком к появлению совершенно нового раздела математики, причем послужило именно то обстоятельство, что, как уже отмечалось, кавалер де Мере вел отчаянную игру. В описываемое время Б. Паскаль не чурался светских удовольствий и слегка поигрывал. Нет ничего неожиданного в том, что между ним и кавалером де Мере завязывались разговоры об азартных играх. В этих-то разговорах кавалер де Мере предложил Б. Паскалю решить две задачи.
ЗАДАЧИ КАВАЛЕРА де МЕРЕ
Первая состояла в том, чтобы узнать, сколько раз надо метать две кости, чтобы надеяться получить наибольшее число очков, то есть двенадцать. Как мы скоро увидим, эта задача весьма простая.Вторая задача много сложнее. Страстный игрок, де Мере чрезвычайно интересовался следующим вопросом: каким образом разделить ставку между игроками в случае, если игра не была окончена?Пытаясь решить, задачи де Мере (главным образом вторую из них), Б. Паскаль в 1654 году начал переписываться с другим крупнейшим французским математиком — П. Ферма. Не будучи знакомы лично, благодаря переписке они стали близкими друзьями. П. Ферма решил обе задачи с помощью придуманной им «теории сочетаний». Решение Б. Паскаля было значительно проще. Он исходил из чисто арифметических соображений. Нисколько не завидуя П. Ферма, Б. Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал ему: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».Приведем вкратце решение Б. Паскаля для второй задачи кавалера де Мере. Предположим, говорит Б. Паскаль, что играют два игрока и что выигрыш считается окончательным после выигрыша одним из них трех партий. Пусть ставка каждого игрока составляет 32 луидора, и предположим, что первый уже выиграл две партии (ему не хватает одной), второй выиграл одну (ему не хватает двух). Им предстоит сыграть еще партию. Если ее выиграет первый, он получит всю сумму, то есть 64 луидора; если второй, у каждого будет по две выигранные партии, шансы обеих будут равны, и в случае прекращения игры каждому, очевидно, надо дать поровну.Итак, если выиграет первый, он получит 64 луидора. Если выиграет второй, то первый получит лишь 32 луидора. Поэтому, если оба согласны не играть предстоящей партии, то первый вправе сказать:— Тридцать два луидора я получу во всяком случае, даже если я проиграю предстоящую партию, которую мы согласились признать последней. Стало быть, 32 луидора мои. Что касается остальных 32, может быть, их выиграю, я, может быть, вы. Поэтому разделим сомнительную сумму пополам!Значит, если игроки разойдутся, не сыграв последней партии, то первому надо дать 48 луидоров, или же три четверти всей суммы, второму 16 луидоров, или одну четверть, из чего видно, что шансы первого из них на выигрыш втрое больше, чем второго (а не вдвое, как можно было бы подумать при поверхностном рассуждении).Конечно, все это пока еще не математика, а скорее рассуждения, основанные на здравом смысле. Но вот что главное — здесь делается попытка оценить количественно то, что, казалось бы, по самой своей сути никакой количественной оценке не подлежит. И до Б. Паскаля ничего подобного никому и в голову не приходило. Математики всегда гордились (да и сейчас гордятся) именно тем, что выводы их науки справедливы всегда, при любых условиях. Дважды два, говорят они; всегда четыре —- и сегодня, и через миллион лет, и на Земле, и на любой другой планете. А тут – на тебе! Спрашиваете вы, допустим, у некоего специалиста: будет ли завтра дождь? Специалист отвечает, мол, девяносто шансов из ста за то, что дождя не будет, а десять шансов за то, что дождь пойдет. Как это понимать? Особенно в том случае, если дождь все-таки пойдет. Куда тогда подеваются эти самые девяносто шансов?И вот оказывается, что человеческому гению под силу даже такая задача: применить точные количественные меры именно там, где по самой сути ничего точного, казалось бы, быть не может. Конечно, большую роль здесь сыграло и то, что к этому времени человечеству уж очень нужны были такие методы.И здесь невозможно удержаться, чтобы не поудивляться еще раз, до чего же все-таки везет дуракам! Ведь кавалер де Мере, формулируя свои задачи, явно ни о чем, кроме игры в кости, не думал. А что получилось? .Возьмем хотя бы первую задачу: сколько раз надо метать кости, чтобы надеяться получить наибольшее число очков? Заметьте, что, например, вопрос, сколько надо бросить в землю семян, чтобы надеяться получить столько-то растений, или вопрос, сколько надо выпустить снарядов, чтобы надеяться поразить цель, это та же самая первая задача кавалера де Мере. Вряд ли нужно добавлять еще что-нибудь для доказательства важности подобных задач. Обратите также внимание на словечко «надеяться». Оно имеет очень большое значение, так как входит в терминологию науки теории вероятностей.
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА
Итак, теория вероятностей — это раздел математики, занимающийся вычислением количественных оценок в условиях, когда некоторые события могут или наступить, или не наступить, и при этом считается, что отсутствует даже принципиальная возможность точно предсказать наступление каждого такого события. Подобные события получили название случайных. Случайное событие представляет собой основной объект изучения в теории вероятностей. Любой из вас приведет какое угодно количество примеров случайных событий, а мы пока что воздержимся от этого.Первое, что сделал Б. Паскаль, — это предложил присваивать каждому случайному событию некоторую численную меру, называемую вероятностью его наступления. Вероятность — положительное число, заключенное между нулем и единицей. Вероятность достоверного события, то есть такого, наступление которого можно предсказать заранее (утром солнце взойдет), принимается равной единице. Вероятность невозможного события, то есть такого, которое в рассматриваемой ситуации никогда не наступает, принимается равной нулю. Вероятность события, которое может наступить или не наступить, — больше нуля и меньше единицы. Интересно заметить, что обратные утверждения неверны. Событие, вероятность наступления которого равна единице, все-таки может и не наступить, а событие, вероятность которого равна нулю, может наступить хотя бы принципиально. Но это уже тонкости теории вероятностей.Чтобы все сказанное стало более понятным, давайте рассмотрим такой пример. Предположим, что мы хотим определить частоту выпадания герба при бросании монеты. (Частотой в данном контексте называется отношение числа случаев, в которых получен рассматриваемый исход (выпал герб) к общему числу случаев.) Ясно, что эта частота должна приближаться к величине 0,5. Обычно, когда монету бросают много раз подряд, все так и получается: при увеличении количества бросаний частота выпадания герба, то есть количество случаев, когда выпал герб, поделенное на общее количество бросаний, приближается к 0,5.Знаменитый статистик К. Пирсон подбрасывал монету 24000 раз подряд — то ли делать ему было нечего, то ли уж очень захотелось воочию увидеть, как эта самая, частота приближается. И действительно, оказалось, что из 24000 бросаний герб выпал 12012 раз. Как видите, частота оказалась очень близкой к 0,5.Все-таки хочется обратить ваше внимание, во-первых, на то, что герб выпал не ровно 12000, а 12012 раз. Эти 12 еще составят предмет самостоятельного разговора. Второе замечание — более общее. Нет никакой гарантии, что при дальнейшем увеличении количества бросаний частота не начнет отклоняться от величины, принимаемой за вероятность.Теперь мы вплотную подошли к рассмотрению еще одного примера. Состоит он в» следующем. Предположим, что мы бросили монетку сто раз подряд и сто раз подряд выпал герб. Такое, хоть и редко, но вполне может случиться. Бросаем монетку в сто первый раз, но перед этим задаем себе вопрос: что вероятнее при сто первом бросании — выпадание герба или выпадание решки? Вы, конечн., скажете, что если только что сто раз подряд выпадал герб (предполагается, что монета правильная), то уж сейчас-то наверняка выпадет решка. Как бы не так! Вероятность выпадания решки при сто первом бросании точно такая же, как и вероятность выпадания герба, и равна она 0,5.Действительно, ведь события, состоящие в выпадании герба или решки при данном бросании, суть события независимые. Их вероятность ничуть не зависит от того, что происходило при предыдущих бросаниях. И вообще, при подсчете частот нет никакого рецепта, подсказывающего, с какого момента надо начинать считать. Вот и получается: как бы сильно частота ни отклонилась от вероятности (в только что рассмотренном примере (сто бросаний — сто гербов), частота выпадания герба оказалась 1 вместо 0,5), это совсем не значит, что вот теперь-то она должна начать приближаться. Приближается она опять же в среднем. Иначе говоря, чем больше серий опытов мы проведем, тем вероятнее, что средняя частота окажется достаточно близкой к вероятности, Но опять-таки «вероятнее».
