Рафаель Роузен - Математика для гиков

2.14. Равновесие Нэша

Математическое понятие: теория игр

Математика не занимается лишь свойствами чисел. Некоторые области математики также пытаются изучить человеческое поведение, особенно то, как люди взаимодействуют друг с другом. Одной из таких областей является теория игр.

Теория игр была впервые представлена Джоном Форбсом Нэшем-младшим, математиком из Принстонского университета, который стал главным героем книги «Прекрасный ум. Жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша», по которой был снят фильм, вышедший в 2001 году с Расселом Кроу в главной роли. Игры, которые изучают теоретики игр, включают в себя не только шахматы и шашки. Они включают в себя разного рода взаимодействия между людьми, в которых решения, принимаемые одним человеком, зависят от решений, принимаемых другим человеком, включая деловые решения, войны и всякого рода экономические воздействия. Поэтому теория игр включает в себя не только чистые факты и правила, но и психическое состояние игроков, а также то, что каждый игрок думает об этих психических состояниях.

Один центральный элемент теории игр был назван в честь самого Нэша. Он называется равновесием Нэша, этот термин описывает игру, в которой каждый игрок не должен менять свою стратегию, даже если он знает стратегии всех остальных игроков. Другими словами, игра находится в равновесии Нэша, если никто не будет иметь преимуществ и не будет менять стратегии.

Вы, возможно, уже знакомы с примером равновесия Нэша: дилеммой заключенного. В этом случае два человека обвиняются в преступлении, и им грозит, предположим, три года тюрьмы. Но прокурор подозревает, что двое заключенных являются сообщниками, и предлагает каждому из них сделку. (Заключенные не могут никаким образом общаться друг с другом, поэтому они не знают, какое решение примет другой человек.) Если заключенный А признает, что заключенный Б – его сообщник, а заключенный Б не признает, то заключенный А получит один год тюрьмы – смягченный приговор, а заключенный Б получит пять лет тюрьмы. Верным будет и обратное: если заключенный Б признает, что заключенный А – его сообщник, а заключенный А не признает, то заключенный Б получит один год тюрьмы, а заключенный А получит пять лет тюрьмы. Если они оба сознаются, тогда оба получат по два года. Если посмотреть на общую картину, то кажется, что им обоим лучше во всем признаться. Но если каждый из них будет искать лучший выход, не зная, что решит другой, они оба решат ничего не говорить и получить по три года тюрьмы – первоначальный приговор, – хотя они и могли получить смягченный приговор, если бы признались во всем. Оказывается, случай, когда оба заключенных не признаются, соответствует равновесию Нэша, а остальное не соответствует.

Теория игр проникает во все уголки нашей жизни, даже в те, которые, кажется, не связаны с играми и принятием решений. Одним примером является недавнее решение авиакомпании Southwest Airlines позволить людям за дополнительную плату сесть в самолет раньше, чтобы у них точно было свободное место на багажных полках над головой для их сумок. Перед каждым пассажиром стоял одинаковый выбор, так что, решая, заплатить ли лишние деньги, каждый пассажир должен был помнить, что остальные тоже могли это сделать. (Оказывается, что дополнительная плата является наилучшим выбором.)

2.15. Математика в стае скворцов

Математическое понятие: безмасштабная корреляция

Возможно, вы видели видео на YouTube, где летит большая стая скворцов, или, может быть, вам посчастливилось наблюдать за ними вживую. В любом случае, вы наверняка были удивлены тем, как каждая птица скоординирована друг с другом, каждый скворец летит синхронно с другими птицами. (Ни один скворец, например, не делает резких поворотов и не сталкивается с соседом.) Вы также, возможно, восхищались тем, как внезапное движение нескольких скворцов с краю передавалось практически в ту же секунду на всю группу, и все скопление парящих тел в перьях, казалось, ведет себя как единый организм.

Такое поведение соответствует принципу безмасштабной корреляции. Когда группа особей организована таким образом, любое движение, сделанное одним, влияет на всех других участников, несмотря на размер группы. В группе скорость и направление одного скворца напрямую влияют только на скорость и направление его ближайших семи соседей, но информация быстро распространяется на всю стаю. Их поведение придерживается статистической модели, которая похожа на то, как намагничивается металл или как ведут себя кристаллы снега перед лавиной. (Недавно команда ученых выяснила, что стаи скворцов соблюдают безмасштабную корреляцию, создав компьютерную модель, которая воссоздала позиции и скорость в трехмерном пространстве настоящих скворцов в стае численностью от 122 до 4268 особей.) И скворцы показывают мастерство координации без лидера, который ведет всех остальных скворцов; вместо этого каждый скворец будто следует простым правилам: «Лети с той же скоростью, что и твой сосед» и «Не столкнись ни с кем». Однако, несмотря на все исследования, никто точно не знает, как скворцы или другие животные, которые обладают таким же групповым поведением, так быстро передают информацию.

Другие животные обладают похожим поведением. Анчоусы, например, плавают большими группами или косяками, которые поворачиваются и меняют направление не хуже скворцов. А косяки анчоусов могут быть огромными: в 2014 году у берегов Сан-Диего был замечен косяк, в котором насчитывалось около 100 млн рыб.

2.16. Приводим в порядок кучу беспорядка

Математическое понятие: комбинаторика

Математика может найти смысл даже в вашем завтраке. Представьте, что вы заказали три пышных американских блинчика в своем любимом кафе, и когда официант приносит их и кладет на стол, вы замечаете, что они разного размера и лежат как попало: самый большой лежит сверху, самый маленький – в середине, а средний в самом низу. Предположим, что вы хотите, чтобы ваши блинчики лежали по порядку, чтобы самый маленький лежал сверху, средний – в центре, а большой – снизу. Давайте также представим, что для того, чтобы переложить блинчики, вам нужно следовать такому правилу: вам нужно взять лопатку, вставить в любое место между блинчиками и перевернуть те блинчики, которые находятся поверх лопатки так, чтобы то, что было сверху, оказалось снизу, а то, что снизу, – сверху. Сколько раз вам придется перевернуть блинчики, чтобы они лежали по порядку, используя эту процедуру?

Если у вас всего три блинчика, то вам понадобится перевернуть их два раза. В первый раз вы вставите лопатку под нижний блинчик и перевернете все три блинчика. Теперь самый большой блинчик будет снизу, самый маленький – в центре, а средний – сверху. На этом этапе вам надо вставить лопатку под самый маленький блинчик и перевернуть его и средний блинчик, тогда они поменяются местами. Теперь они лежат идеально!

Но математики обычно хотят узнать правила на общий случай, в нашем примере это будет стопка блинчиков из любого их количества и расположения. Какое максимальное количество переворачиваний потребуется, чтобы изменить порядок стопки из n-количества блинов? (Математики называют это число Pn, то есть количество блинов.) Pn для трех блинчиков равно трем, и это если рассматривать самое трудное расположение: маленький сверху, большой в центре, а средний снизу. (Математики обычно ищут максимальное число, а не минимальное, так как они хотят найти внешнюю границу.)

Так сложилось, что это очень трудная проблема. Математики нашли Pn, когда в стопке было 19 блинов, оно равно 22, но если блинчиков больше 19, то это число неверно. На самом деле никто не нашел общую формулу, которая выводит максимальное количество переворачиваний, нужных для того, чтобы сложить стопку из n-количества блинов по порядку.

Вторник на Масленой неделе – это время для католиков, когда они могут наслаждаться едой из сахара и масла перед Великим постом, традиционным периодом покаяния.

2.17. Математика побеждает в суде

Математические понятия: теория вероятности и статистика, ошибка прокурора

Логическая ошибка – это ошибка в процессе рассуждения, так что даже если вы начинаете с фактов, вы можете прийти к ложному заключению. Иногда логические ошибки связаны с теорией вероятности, традиционной математической темой. А в некоторых случаях логические ошибки, связанные с теорией вероятности, могут помочь признать виновность человека, подозреваемого в преступлении.

Одной такой ошибкой является ошибка прокурора. Когда человек использует эту ошибку в споре – в данном случае «спор» означает не ссору, а ряд аргументированных утверждений, которые нацелены на обоснование положения, – он пытается установить преимущество определенного возникающего факта. Но в процессе установления этих преимуществ он по ошибке сравнивает факт с неуместным набором событий.