РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Стратегия среднего геометрического портфеля

В какой именно точке на эффективной границе вы будете находиться (то есть ка­кова эффективная КСП), является функцией вашего собственного неприятия риска, по крайней мере, в соответствии с моделью Марковица. Однако есть опти­мальная точка на эффективной границе, и с помощью математических методов можно найти эту точку. Если вы выберете КСП с наивысшим средним геометри­ческим HPR, то достигнете оптимальной КСП! Мы можем рассчитать среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR (обе эти величины у нас уже есть, так как они являются осями Х и Y модели Марковица!) Уравнения (1.16а) и (1.166) дают нам формулу для оценочного сред­него геометрического EGM (estimated geometric mean). Данный расчет очень бли­зок (обычно до четвертого или пятого знака после запятой) к реальному среднему геометрическому, поэтому можно использовать оценочное среднее геометричес­кое вместо реального среднего геометрического.

где EGM == оценочное среднее геометрическое;

AHPR = среднее арифметическое HPR, или координата, соответ­ствующая доходу по портфелю;

SD = стандартное отклонение HPR, или координата, соответ­ствующая риску по портфелю;

V = дисперсия HPR, равная SD ^ 2. Обе формы уравнения (1.16) эквивалентны.

При КСП с наивысшим средним геометрическим рост стоимости портфеля бу­дет максимальным; более того, данная КСП позволит достичь определенного уровня баланса за минимальное время.

Ежедневные процедуры при использовании оптимальных портфелей

Посмотрим на примере, как применять вышеописанный подход на ежеднев­ной основе. Допустим, что оптимальное КСП соответствует трем различным рыночным системам. Предположим, что процент размещения составляет 10%, 50% и 40%. Если бы вы рассматривали счет в 50 000 долларов, то он был бы «разделен» на три субсчета в 5000, 25 000 и 20 000 долларов для каждой рыночной системы (А, В и С) соответственно. Затем для баланса по субсчету каждой рыноч­ной системы вычислите, сколькими контрактами торговать. Скажем, фактор f дал следующие величины:

Рыночная система А: 1 контракт на $5000 баланса счета.

Рыночная система В: 1 контракт на $2500 баланса счета.

Рыночная система С: 1 контракт на $2000 баланса счета.

Тогда вы будете торговать 1 контрактом для рыночной системы А ($5000 / $5000), 10 контрактами для рыночной системы В ($25 000 / $2500) и 10 контрактами для рыночной системы С ($20 000 / $2000). Каждый день, когда общий баланс счета изменяется, все субсчета перерассчи­тываются. Допустим, что счет в 50 000 долларов на следующий день понизился до 45000 долларов. Так как мы каждый день заново перераспределяем средства по субсчетам, то получаем 4500 долларов для рыночной системы А, 22 500 долларов для рыночной системы В, и 18 000 долларов для рыночной системы субсчета С. На следующий день мы будем торговать нулевым количеством контрактов по рыноч­ной системе А ($4500 / $5000 = 0,9, или, так как мы всегда основываемся на целых числах, 0), 9 контрактами для рыночной системы В ($22 500 / $2500), и 9 контрак­тами для рыночной системы С ($18 000 / $2000). Перерассчитывайте субсчета ежеднев­но, независимо от того, что вы получили: прибыль или убыток. Помните, субсчета, ис­пользованные здесь, являются условной конструкцией.

Есть более простой для понимания способ, дающий те же самые ответы, — де­ление оптимального f рыночной системы на ее процентный вес. Это даст сумму в долларах, на которую мы затем разделим общий баланс счета, чтобы узнать, сколькими контрактами торговать. Так как баланс счета изменяется ежедневно, мы перерассчитываем субсчета также ежедневно для получения нового общего баланса счета. В рассмотренном примере рыночная система А, при значении f в 1 контракт на 5000 долларов баланса счета и процентном весе 10%, соответству­ет 1 контракту на 50 000 долларов общего баланса счета ($5000 / 0,10). Рыночная система В, при значении ib 1 контракт на 2500 долларов баланса счета и процен­тном весе 50%, соответствует 1 контракту на 5000 долларов общего баланса счета ($2500 / 0,50). Рыночная система С, при значении ib 1 контракт на 2000 долларов баланса счета и процентном весе 40%, соответствует 1 контракту на 5000 долларов общего баланса счета ($2000 / 0,40). Таким образом, если бы у нас было 50 000 дол­ларов на счете, мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе А, 10 контрак­тами в рыночной системе В и 10 контрактами в рыночной системе С. На следующий день процедура повторяется. Скажем, наш общий баланс счета повысился до 59 000 долларов. В этом случае разделим 59 000 долларов на 50 000 долларов и получим 1,18 (или округляя до целого числа 1), поэтому завтра мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе А, 11 контрактами ($59 000 / $5000 =11,8, что ближе к целому числу 11) в рыночной системе В и 11 контрактами в рыночной системе С. Предположим, в рыночной системе С со вчерашнего дня у нас открыта длин­ная позиция на 10 контрактов. Нам не следует добавлять сегодня до 11 контрак­тов. Суммы, которые мы рассчитываем с использованием баланса, рассчитыва­ются только для новь1х позиций. Поэтому завтра (если было открыто 10 контрак­тов, но мы закрыли позицию, т.е. зафиксировали прибыль) нам следует открыть 11 контрактов, если мы посчитаем это целесообразным. Расчет оптимального портфеля с использованием ежедневных HPR означает, что нам следует входить на рынок и изменять позиции на ежедневной основе, а не от сделки к сделке; но это не обязательно делать, если вы будете торговать по долгосрочной системе, по­скольку вам будет невыгодно регулировать размер позиции на ежедневной осно­ве из-за высоких накладных расходов. Вообще говоря, вам следует изменять пози­ции на ежедневной основе, но в реальной жизни вы можете изменять их от сдел­ки к сделке с малой потерей точности. Применение правильных дневных позиций не является большой проблемой. Вспомните, что при поиске оптимального портфеля мы использовали в ка­честве вводных данных дневные HPR. Поэтому нам следовало бы изменять размер позиции ежедневно (если бы мы могли изменять каждую позицию по цене, по которой она закрылась вчера). В действительности это становится непрактично, так как издержки на трансакции начинают перевешивать при­были от ежедневного изменения позиций. С другой стороны, если мы открываем позицию, которую собираемся удержи­вать в течение года, нам следует пересматривать ее чаще, чем раз в год (т.е. в конце срока, когда мы откроем другую позицию). Вообще, в подобных долгосрочных системах нам лучше регулировать позицию каждую неделю, а не каждый день. Аргументация здесь такова: потери из-за не совсем правильных дневных позиций могут быть меньше, чем дополнительные издержки по сделкам для ежедневного изменения позиций. Вы должны определить, основываясь на используемой тор­говой стратегии, какие из потерь будут для вас меньше. Какой объем исторических данных необходим для расчета оптимальных портфелей? Этот вопрос можно сформулировать несколько иначе: «Какой объем исторических данных необходим для определения оптимального f дан­ной рыночной системы?» Точного ответа не существует. Вообще, чем больше исторических данных вы используете, тем лучше должен быть результат (то есть оптимальные портфели в будущем будут напоминать нынешние оптимальные портфели, рассчитанные по историческим данным). Однако соотношения из­меняются, хотя и медленно. Одна из проблем при использовании данных за слишком большой период времени заключается в том, что возникает тенденция к использованию в портфеле рынков, которые были активны в прошлом. На­пример, если бы вы создавали портфель в 1983 году на 5 годах прошлых данных, то, вероятнее всего, один из драгоценных металлов оказался бы частью опти­мального портфеля. Однако торговые системы по драгоценным металлам рабо­тали в большинстве своем очень плохо на протяжении нескольких лет после 1980-1981 годов. Поэтому, как видите, при определении будущего оптимально­го портфеля между использованием слишком большого количества историчес­ких данных и использованием слишком малого количества данных нужно най­ти золотую середину. И, наконец, возникает вопрос, как часто следует повторять всю процедуру по­иска оптимального портфеля. По большому счету вы должны делать это постоян­но. Однако в реальной жизни достаточно тестировать портфель каждые 3 месяца. И даже если производить эту операцию каждые 3 месяца, все еще есть высокая вероятность, что вы придете к тому же составу портфеля или очень сходному с тем, что создали ранее.

Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100%

До настоящего момента мы ограничивали сумму процентных весов 100 про­центами. Однако возможно, что сумма процентных размещений для портфеля, который будет иметь наивысший геометрический рост, превысит 100%. Рас­смотрим, например, две рыночные системы, А и В, которые идентичны во всех отношениях, за тем исключением, что у них отрицательная корреляция (R < 0). Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долларов. Допустим, что оптимальный портфель на основе са­мого высокого среднего геометрического — это портфель, который размещает 50% в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торго­вать 1 контрактом на каждые 10 000 долларов баланса для рыночной системы А, и для системы В. Однако когда есть отрицательная корреляция, можно пока­зать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при тор­говле 1 контрактом для баланса, меньшего 10 000 долларов для рыночной сис­темы А и/или рыночной системы В. Другими словами, когда есть отрицатель­ная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100%. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдель­ности превысить 100%.