Стивен Вайнберг - Первые три минуты
Рис. 7. Распределение Планка.
Показана плотность энергии на единичный интервал длин волн излучения черного тела с температурой 3 К как функция длины волны. (Для температуры, которая больше 3 К на множитель f, необходимо только изменить длины волн на множитель 1/f и увеличить плотности энергии на множитель f.) Прямая часть кривой справа приближенно описывается более простым распределением Рэлея — Джинса; кривая с таким наклоном ожидается не только для излучения черного тела, но и во многих других случаях. Крутое падение слева обязано квантовой природе излучения и является специфическим свойством излучения черного тела. Линия, помеченная «галактическое излучение», показывает интенсивность радиошума от нашей Галактики. (Стрелки указывают длину волны первоначального измерения Пензиаса и Вилсона и длину волны, для которой температура излучения может быть выведена из измерений поглощения первым возбужденным вращательным состоянием межзвездного циана.)
Важность планковского расчета выходит далеко за рамки проблемы излучения черного тела, так как в этом расчете Планк ввел новую идею, что энергия может существовать в виде отдельных порций или «квантов». Планк рассматривал только квантование энергии вещества в равновесии с излучением[22], но несколько лет спустя Эйнштейн предположил, что и само излучение также состоит из квантов (названных позднее фотонами). Эти достижения привели, в конце концов, в 20-е годы к великой интеллектуальной революции в истории науки, к замене классической механики совершенно новым языком — квантовой механикой.
В этой книге мы не собираемся углубляться в квантовую механику. Однако для понимания свойств излучения в расширяющейся Вселенной нам будет полезно посмотреть, как картина излучения в терминах фотонов приводит к общим свойствам планковского распределения.
Причина того, что плотность энергии излучения черного тела падает для очень больших длин волн, проста: излучение очень трудно загнать в любой объем, размеры которого меньше, чем длина волны. Это могло быть (и было) понято и без обращения к квантовой теории, просто на основе старой волновой теории излучения.
В то же время, уменьшение плотности энергии излучения черного тела для очень коротких длин волн невозможно понять в рамках неквантовой картины излучения. Хорошо известным следствием статистической механики является то, что при любой заданной температуре трудно получить любой сорт частиц, или волн, или других возбуждений, энергия которых была бы больше некоторой определенной величины, пропорциональной температуре. Однако, если бы излучение с короткой длиной волны могло иметь произвольно малую энергию, то не было бы ничего, что ограничивало бы полное количество излучения черного тела очень коротких длин волн. Это не только находилось бы в противоречии с экспериментом — это должно было бы привести к катастрофическому результату, заключающемуся в том, что полная энергия излучения черного тела всех длин волн равна бесконечности! Единственный выход состоял в том, чтобы предположить, что энергия существует в виде порций или «квантов», причем количество энергии в каждой порции увеличивается с уменьшением длины волны, так что при любой заданной температуре было бы очень мало излучения на коротких длинах волн, для которых порции содержат много энергии. В окончательной формулировке этой гипотезы, принадлежащей Эйнштейну, энергия любого фотона обратно пропорциональна длине волны; при любой заданной температуре излучение черного тела содержит очень мало фотонов со слишком большой энергией, следовательно, очень мало фотонов со слишком короткой длиной волны, что и объясняет падение планковского распределения в области коротких длин волн.
Конкретно энергия фотона с длиной волны 1 см равна 0,000124 электронвольта (эВ) и соответственно растет при уменьшении длины волны. Электронвольт — это удобная единица энергии, равная той энергии, которую приобретает один электрон при прохождении разности потенциалов в один вольт. Например, обычная батарейка карманного фонаря с напряжением 1,5 вольта тратит 1,5 эВ на каждый электрон, который она проталкивает через нить электрической лампочки. (В обычных метрических единицах энергии один электрон-вольт равен 1,602 × 10-12 эрга или 1,602 × 10-19 джоуля). Согласно правилу Эйнштейна, энергия фотона при длине волны в микроволновом диапазоне 7,35 см, на которую настроились Пензиас и Вилсон, была равна 0,000124 эВ, деленным на 7,35, т. е. 0,000017 эВ. В то же время, фотоны видимого света имеют среднюю длину волны около одной двадцатитысячной доли сантиметра (5 × 10-5 см), поэтому их энергия равна 0,000124 эВ, умноженным на 20 000, или приблизительно 2,5 эВ. В обоих случаях энергия фотона очень мала в макроскопических единицах и именно поэтому кажется, что фотоны сливаются вместе в непрерывные потоки излучения.
Между прочим, энергии химических реакций в общем случае имеют значения порядка электронвольта на атом или на электрон. Например, для того чтобы вырвать электрон из атома водорода, требуется 13,6 эВ, что представляет собой исключительно бурное химическое событие. Тот факт, что фотоны в солнечном свете также имеют энергии порядка электронвольта, чудовищно важен для всех нас; именно это позволяет им осуществлять необходимые для жизни химические реакции, такие как фотосинтез[23]. Энергии ядерных реакций, в общем случае, порядка миллиона электронвольт на ядро атома, и поэтому грамм плутония эквивалентен по взрывной энергии 1 тонне ТНТ[24].
Описание с помощью фотонов позволяет легко понять главные качественные свойства излучения черного тела. Во-первых, принципы статистической механики утверждают, что средняя энергия фотонов пропорциональна температуре, в то время, как правило Эйнштейна говорит нам, что длина волны любого фотона обратно пропорциональна его энергии. Отсюда, объединяя эти два правила, получаем, что типичная длина волны фотонов в излучении черного тела обратно пропорциональна температуре. Если выразить это количественно, получим, что типичная длина волны, вблизи которой сконцентрирована большая часть энергии излучения черного тела, равна 0,29 см при температуре 1 К и пропорционально уменьшается при более высоких температурах[25].
Например, непрозрачное тело при обычной «комнатной» температуре 300 К (27 °C) будет испускать излучение черного тела со средней длиной волны, равной 0,29 см, деленным на 300, т. е. около одной тысячной сантиметра. Это лежит в области инфракрасного излучения, и длина волны слишком велика, чтобы наши глаза могли его видеть. В то же время, поверхность Солнца имеет температуру около 5 800 К и, следовательно, испускаемый свет имеет максимум в спектре при длине волны, равной 0,29 см, деленным на 5 800, т. е. примерно пять стотысячных долей сантиметра (5 × 10-5 см) или 5 000 ангстрем. (Один ангстрем равен одной стомиллионной (10-8) сантиметра.) Как уже отмечалось, это находится в середине той области длин волн, которую в процессе эволюции приспособились видеть наши глаза и которую мы называем видимой областью. То, что эти длины волн столь малы, объясняет тот факт, что лишь в начале девятнадцатого века была обнаружена волновая природа света: ведь только тогда, когда мы изучаем свет, прошедший через очень маленькие отверстия, мы можем заметить явления, характерные для распространения волн, такие, как дифракция.
Мы видели также, что уменьшение плотности энергии излучения при больших длинах волн связано с трудностью заключить излучение в любой объем, размеры которого меньше длины волны. В самом деле, среднее расстояние между фотонами в излучении черного тела, грубо говоря, равно средней длине волны фотона. Но мы видели, что средняя длина волны обратно пропорциональна температуре, следовательно, среднее расстояние между фотонами также обратно пропорционально температуре. Число предметов любого сорта в заданном объеме обратно пропорционально кубу среднего расстояния между ними, поэтому при излучении черного тела выполняется правило: число фотонов в данном объеме пропорционально кубу температуры.
Мы можем теперь собрать всю эту информацию воедино, чтобы сделать ряд выводов о количестве энергии в излучении черного тела. Количество энергии в одном литре, или «плотность энергии», есть просто число фотонов в одном литре, умноженное на среднюю энергию одного фотона. Но мы видели, что число фотонов в одном литре пропорционально кубу температуры, в то время как средняя энергия фотона просто пропорциональна температуре. Отсюда, количество энергии в одном литре излучения черного тела пропорционально кубу температуры, умноженному на температуру, или, другими словами, четвертой степени температуры. Выражая это количественно, находим, что плотность энергии излучения черного тела равна 4,72 эВ на литр при температуре 1 К, 47 200 эВ на литр при температуре 10 К и так далее. (Это правило известно как закон Стефана-Больцмана.) Если микроволновой шум, обнаруженный Пензиасом и Вилсоном, действительно является излучением черного тела с температурой 3 К, то плотность энергии его должна быть равной 4,72 эВ на литр, умноженным на три в четвертой степени, т. е около 380 эВ на литр. Когда температура была в тысячу раз больше, плотность энергии была в миллион миллионов (1012) раз больше.
