Александр Китайгородский - Реникса
Мы едем и один за другим обгоняем пять грузовиков с цифрой семь на конце, потом долгое время нет ни одной тройки. Попытки угадать цифру большей частью оканчиваются неудачей. А иногда вдруг повезет, и несколько раз ваши прорицания оказываются успешными. О какой же закономерности здесь может идти речь? Случай – он случай и есть!
Итак, мы с приятелей отправились в Крым. Делать всё равно нечего: до Симферополя ехать еще весь день. Возьмем лист бумаги и начнем записывать последние цифры номеров всех машин, которых мы обогнали. К вечеру их набралось несколько тысяч: дело в том, что мой приятель вел автомобиль со скоростью, не встречающей особого одобрения у представителей автоинспекции. Мы остановились на отдых, теперь можно приступить, выражаясь языком науки, к обработке наблюдений: сколько насчитали нулей, сколько единиц, сколько двоек… Подсчет закончен, и статистическая закономерность начинает проглядывать из-за леса цифр.
Прежде всего установлено, что каждая цифра появлялась у нас перед глазами примерно одинаковое число раз. Число наблюдений было десять тысяч – следовательно, отклонения от одной тысячи для каждой цифры вряд ли больше, чем полсотни. Иными словами, отношение числа появлений какой-то определенной цифры к общему числу наблюдений будет близко к одной десятой.
А теперь посмотрим, какие варианты вообще могли бы быть.
Если число наблюдений невелико, например сто, то отклонение от одной десятой будет больше чем если число наблюдений тысяча. Можно убедиться на опыте, что с ростом числа наблюдений процентное отклонение от одной десятой будет становиться всё меньше. Таким способом и устанавливается, что вероятность появления нуля, единицы или любой другой цифры равняется одной десятой.
Опыт в нашей игре, строго говоря, нужен лишь для того, чтобы убедиться, что милиция действительно выдает грузовикам все номера с любыми последними цифрами. Если в этом нет сомнения, а также есть уверенность, что встречи с грузовиками действительно случайные, то можно безбоязненно отважиться на предсказание вероятности. Для этого надо прикинуть, какая доля от всех возможностей ложится на интересующий вас вариант.
Всего возможностей десять. Вас интересует одна из них. Значит, вероятность этой интересующей вас возможности – одна десятая. Так же точно вы без колебаний скажете, что вероятность цифр, делящихся на четыре, будет равна двум десятым (четверка и восьмерка).
А чему равняется вероятность появления подряд двух одинаковых цифр?
И это сообразить нетрудно. Вероятность появления, скажем, тройки равна одной десятой. Вслед за ней могут с одинаковыми шансами появиться все десять цифр. Значит, искомая вероятность равна одной десятой от одной десятой, то есть одной сотой.
Так же точно выясняется, что шанс на три тройки подряд равен одной тысячной, а на пять троек подряд – одной стотысячной.
Эти закономерности и называются статистическими. Они проявляются тогда, когда обрабатывается большое количество наблюдений. А могут ли они помочь в предугадывании отдельного случая?
Вот одно из наивных заблуждений, которое разорило уже не одного игрока. Предположим, из десяти возможных цифр пятерка выпала пять раз подряд. Невероятно, чтобы она появилась еще раз, рассуждает игрок и предлагает соответствующее пари. И проигрывает.
Случайные события не могут зависеть от предыдущей партии, и потому вероятность появления пятерки (так же как и любой другой цифры) каждый раз равна одной десятой. Это заключение – я знаю это из разговоров с любителями карт – зачастую удивляет.
Но подумаем как следует. Ведь иначе и быть не может. Пусть за большое время десять тысяч раз пятерка выпадала пять раз сряду. Разве не ясно, что среди этих десяти тысяч случаев имеется примерно одна тысяча вариантов 555551, столько же 555552 и т. д; Следовательно, шестая пятерка появится на том же основании, то есть примерно в одном случае из десяти.
Это непонимание или забывчивость того, что случайные события не зависят от прошлого, распространено не только среди картежников. Достаточно вспомнить, что на войне стараются спрятаться в воронку от снаряда: второй раз-де, мол, не попадет в то же место.
Если по окончании артобстрела подсчитать число одиночных и двойных попаданий, то, разумеется, вторых будет много меньше, точно так же, как пять пятерок подряд будет встречаться в десять раз чаще, чем шесть пятерок подряд. Но тем не менее прятаться в воронку по статистическим соображениям нет ни малейшего смысла. Разумеется, дело меняется (но это уже не имеет отношения к статистике), если ведется «стрельба по площади». В том случае поле обстреливается орудием точка за точкой.
В связи с этим вспоминается занятный рассказ Вересаева. На заре авиации некто попал в аварию. Остался ночевать на аэродроме и на следующий день полетел опять.
– Вы рассуждали, что мала вероятность двух аварий кряду? – «догадались» одни.
– Да нет, – последовал разумный ответ. – Я считал, что после аварии технический состав удвоит свое внимание и тщательнее обычного подготовит следующий полет.
Итак, одно из правил в использовании вероятностных суждений о случайных событиях – это забыть о прошлой истории.
Теперь другое. Сама по себе малая вероятность события еще не означает, что вы не будете с ними сталкиваться. Всё зависит от того, насколько часто в вашей жизни бывают случаи, при которых это событие может возникнуть.
Случайные совпадения иногда кажутся совершенно поразительными. Если вы их увидели своими глазами, значит, так и есть. А если о невероятном случае рассказывает очевидец? Верить или нет?
Есть вполне разумный способ отличить правду от выдумки. Надо сказать, что интуитивная оценка возможности того или иного случая, которая развита у каждого разумного человека жизненной практикой, хорошо совпадает с простыми подсчетами вероятностей.
Положим, в автомобильной гонке за грузовиками вы обгоняете подряд десять машин, номера которых оканчиваются одной и той же цифрой. Даже не зная, что такое вероятность, вы ощутите, что вряд ли это случайно. Скорее всего движется колонна машин из одного гаража, которому зачем-то выдали номера с одинаковой последней цифрой.
Или еще. У вас свидание с девушкой на площади Пушкина в семь часов вечера. Девушки пока нет, но мимо, для вас некстати, проходит сокурсник. «Привет, Володя, – слышите вы. – Ты что здесь делаешь?»
Досадный случай. Но что это! Появляется второй приятель. Но теперь уже вы задаете вопрос: «Вы что тут, ребята, прохаживаетесь?»
А сами думаете: «Что за черт, совершенно невероятный случай!»
Но тут вдалеке показывается фигура еще одного приятеля.
Мысль о случайности у вас исчезает. «Разыграли, гады» – решаете вы. И если друзья будут клясться и божиться, что никакого сговора не было, и о вашем свидании никто и представления не имел, и что это просто случай – мол, мало ли чего на свете не бывает, – то вы сумеете вывести их на чистую воду с помощью простой арифметики.
Пусть в городе миллион жителей, а друзей у вас десять человек. Вероятность того, что случайный прохожий окажется вашим другом, равна одной стотысячной. Хотя эта цифра и мала, она не исключает возможности случайной встречи.
За полчаса ожидания мимо вас пройдет, скажем, тысяча человек (для площади Пушкина в Москве такая оценка для семи часов вечера совершенно реальная). Вероятность встречи с другом повышается уже до одной сотой.
Сотня свиданий за время обучения в университете у вас уж, наверное, была. Значит, вероятность досадной встречи становится равной единице.
Эта прикидка показывает, что неприятный случай отнюдь не фантастичен.
А какова вероятность встречи одновременно с двумя приятелями? Вероятность этого сложного события равняется одной стотысячной.
Дальнейшее рассуждение остается тем же самым, и оказывается, что вероятность «тройного столкновения» станет равной единице лишь при увеличении срока университетского обучения (с сохранением частоты свиданий) до четырех-пяти сотен тысяч лет.
Итак, уже тройное столкновение является чудом, не говоря уже о четверном. Вы подверглись розыгрышу и можете считать, что привели этому абсолютно строгое доказательство.
Я хотел показать, что о реальности случая надо судить не только по вероятности единичного события, но оценивать полное число событий, которое могло произойти за жизнь человека, за время существования цивилизации, за время существования земного шара…
В игорном доме в Монте-Карло идет игра на красное и черное. Вероятность появления красного равна одной второй, появления этого цвета два раза подряд – одной четвёртой, три раза подряд – одной восьмой… пятнадцать раз подряд – единице, деленной на 32 768. Как не трудно догадаться, это число есть два в пятнадцатой степени (215).
Я не был в Монте-Карло и совсем не знаю «технологии» игры. Но допустим, что одна игра занимает минут пять (пока поставят деньги, пока банк расплатится с выигравшими и загребет деньги проигравших). За час двенадцать игр, за пять часов – совершенно произвольно посчитаем, что для напряженной работы крупье рабочий день такой продолжительности вполне достаточен – шестьдесят. Казино, – наверное, работает без выходных. Значит, за год 21 900 игр. Получается, что появление пятнадцать раз подряд красного цвета – событие реальное. Оно в среднем будет происходить раз в два года.
