Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать
Получается, что либо мы должны уцепиться за утешительное понятие абсолютного времени и отбросить уравнения Максвелла, либо отбросить концепцию абсолютного времени в пользу Максвелла и Эйнштейна. Как определить, какое из этих действий правильное? Мы должны подыскать эксперимент, в ходе которого, если Эйнштейн прав, можно будет наблюдать замедление времени для движущихся объектов.
Чтобы разработать такой эксперимент, надо сначала выяснить, как быстро что-то должно двигаться, чтобы можно было обнаружить предполагаемый эффект. Совершенно очевидно, что перемещение со скоростью 100 километров в час по шоссе в автомобиле не вызывает заметного замедления времени, поскольку, оказавшись дома после поездки в магазин, мы не заметим, что наши дети выросли и стали старше нас, пока нас не было. Конечно, это преувеличение, но именно это должно происходить согласно Эйнштейну, и мы наверняка заметили бы разницу, если бы могли путешествовать достаточно быстро. Но что означает «достаточно быстро»? С точки зрения человека на платформе свет движется вдоль двух сторон треугольника, показанного на рисунке. Эйнштейн утверждает, что в этом случае свет проходит большее расстояние, чем в случае, когда часы находятся в состоянии покоя, соответственно, и время течет медленнее, так как их такт длится дольше. Все, что мы должны теперь сделать, – вычислить, насколько больший путь проходит свет (для заданной скорости поезда), – и получим ответ. Мы можем сделать это при помощи Пифагора.
Если вы не хотите перегружать себя математикой, можете пропустить пару абзацев, но тогда вам придется принимать наши дальнейшие слова на веру. Это относится к любым математическим вычислениям, размещенным в книге. Вы можете пропустить математические выкладки и не беспокоиться по этому поводу: математика помогает глубже понять физику, но не является абсолютно необходимой для понимания изложенного в книге материала. Но мы все же надеемся, что вы не станете пропускать математические расчеты, даже если у вас нет соответствующих знаний. Мы пытались максимально упростить математику, чтобы она была доступна читателю с любым уровнем подготовки. Логические головоломки, которые публикуют в ежедневных газетах, решать гораздо труднее, чем все, что мы будем делать в этой книге. Вместе с тем ниже следует один из самых сложных математических расчетов во всей книге, но результат стоит затраченных усилий.
Давайте еще раз посмотрим на рис. 2 и предположим, что время, затраченное на половину такта часов на поезде, измеренное человеком на платформе, равно T. Это время, необходимое свету, чтобы добраться от нижнего зеркала до верхнего. Наша цель – выяснить, чему T равно на самом деле, и удвоить его, чтобы получить время одного такта часов с точки зрения человека на платформе. Зная значение T, мы можем сказать, что длина гипотенузы треугольника равна cT, то есть скорости света c, умноженной на время T, необходимое свету, чтобы добраться от нижнего зеркала до верхнего. Вспомните, что расстояние, которое преодолевает движущийся объект, рассчитывается путем умножения скорости на время движения. Например, расстояние, пройденное машиной, перемещающейся со скоростью 60 километров в час, за два часа составляет 60 × 2 = 120 километров. Все, что мы сделали, – просто применили формулу «расстояние = скорость × время». Зная значение T, мы можем выяснить, какой путь прошел свет за половину такта часов. Если поезд движется со скоростью v, то за полтакта он переместится на расстояние vT. Мы вновь не использовали ничего, кроме формулы «расстояние = скорость × время». Это расстояние представляет собой длину одного из катетов прямоугольного треугольника, так что для вычисления расстояния между зеркалами (соответствующего второму катету) воспользуемся теоремой Пифагора. Но мы знаем, что это расстояние равно 1 метру. Итак, согласно теореме Пифагора (cT)² = 1² + (vT)². Обратите внимание на скобки: в математике они говорят о том, какая операция должна выполняться первой. В нашем случае сначала следует выполнить умножение, а затем возвести полученное значение в квадрат. Вот и все.
Итак, мы почти закончили. Нам известна скорость света c; предположим, что нам известна и скорость поезда v. Тогда мы можем воспользоваться полученным уравнением, чтобы вычислить значение T. Грубый способ сделать это – угадать его и посмотреть, насколько оно подходит. Но, скорее всего, вам это вряд ли удастся, и придется делать новые попытки. Возможно, вам повезет и вы все же в какой-то момент добьетесь своего. Но, к счастью, есть более простой и надежный способ – уравнение можно «решить», выполнив простые математические преобразования и получив T² = 1/(c² − v²). Это означает следующее: «сперва вычислите c² − v², а затем разделите единицу на полученное значение». Здесь косая черта означает операцию деления, то есть ½ = 0,5 и т. д. Если вы хотя бы немного знаете математику, вам сейчас невероятно скучно. Если нет, то вы можете захотеть узнать, как мы вывели формулу T² = 1/(c² − v²). Поскольку это книга не о математике, просто поверьте нам. Если хотите – подставьте несколько чисел и убедитесь, что мы правы. Фактически мы вычислили не само время T, а T², что означает T, умноженное на T. Получить значение T можно путем извлечения квадратного корня.
Математически квадратный корень – это число, которое, будучи умножено само на себя, дает нам исходное число. Например, квадратный корень из девяти равен трем, а из семи – примерно 2,646. На калькуляторах есть специальная кнопка для вычисления этого значения. Она обычно помечена символом √, а математическая запись имеет такой вид: 3 = √9. Как видите, извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат: 4² = 16 и √16 = 4.
Но вернемся к нашей задаче. Теперь мы можем записать время одного такта световых часов с точки зрения наблюдателя на платформе – оно равно времени, необходимому для движения светового луча от нижнего зеркала к верхнему и назад, то есть 2T. Взяв квадратный корень из T² и умножив его на два, получим 2T = 2 ÷ √(c² − v²). Это уравнение позволяет вычислить время одного такта, которое измерил наблюдатель на платформе, зная скорость света и скорость поезда, а также расстояние между зеркалами (1 метр). Но время одного такта для наблюдателя в поезде рядом с часами равно просто 2/с, так как для него свет проходит два метра со скоростью c (расстояние = скорость × время, поэтому время = расстояние/скорость). Вычислив отношение этих двух промежутков времени, мы определим, насколько медленнее отсчитывают время часы в поезде с точки зрения наблюдателя на платформе. Они идут медленнее в c ÷ √(c² − v²) раз, что можно записать после небольшого математического преобразования как 1 ÷ √(1 − v² ÷ c²). Это очень важная величина в теории относительности, обычно обозначаемая греческой буквой γ (произносится «гамма»). Обратите внимание, что γ всегда больше 1, если часы движутся со скоростью, которая меньше скорости света c, поскольку v/c меньше 1. При скоростях, гораздо меньших скорости света (то есть для большинства обычных скоростей, так как скорость света, будучи записана в привычных единицах, составляет чуть больше миллиарда километров в час), значение γ очень близко к 1. И только когда скорость движения составляет существенную долю скорости света, γ начинает заметно отличаться от 1.
На этом пока завершим математические упражнения – нам удалось выяснить, как именно замедляется время на движущемся поезде по отношению ко времени на платформе. Давайте назовем некоторые цифры, для того чтобы прочувствовать происходящее. Если поезд движется со скоростью 300 километров в час, то, как можно убедиться самостоятельно, значение v²/c² представляет собой крохотное число и составляет около 0,000000000000077. При этом коэффициент замедления времени γ равен 1 ÷ √(1 − 0,000000000000077 ≈ 1,0000000000039). Как и ожидалось, эффект весьма незначительный – безостановочное путешествие на протяжении 100 лет на таком поезде удлинит вашу жизнь на 0,0000000000039 года с точки зрения вашего приятеля на платформе, что составляет около одной десятой миллисекунды. Эффект перестанет быть незначительным, когда скорость достигнет 90 % от скорости света. При этом коэффициент замедления времени γ будет больше двух, то есть часы в таком поезде станут тикать вдвое медленнее часов на платформе. В этом и состоит прогноз Эйнштейна, и, будучи добросовестными учеными, мы должны его проверить экспериментальным путем. А пока все это кажется нам несколько невероятным.
