Занимательная астрономия - Яков Исидорович Перельман
„Упадет ли обратно?“ Монах — Мерсен, а военный — Пти. Этот опасный опыт они производили несколько раз и так как не оказались настолько меткими, чтобы ядро угодило им как раз в голову, то заключили, что ядро осталось навсегда в воздухе. Вариньон удивляется этому: „Ядро, висящее над нашими головами! Поистине удивительно!“ При повторении опыта в Страсбурге ядро отыскалось в нескольких сотнях метров от пушки. Очевидно, орудие не было направлено строго вертикально».
Два решения задачи, как видим, находятся в резком разногласии. Один автор утверждает, что ядро упадет далеко к западу от места выстрела, другой — что оно должно упасть непременно в жерло орудия. Кто же прав?
Строго говоря, неверны оба решения, но Фламмарионово гораздо ближе к истине. Ядро должно упасть к западу от пушки, однако не столь значительно, как утверждает первый автор, и не в самое жерло, как был убежден второй.
Задача, к сожалению, не может быть решена средствами элементарной математики[47]. Поэтому ограничусь лишь тем, что приведу здесь окончательный результат.
Если обозначим начальную скорость ядра через v, угловую скорость вращения земного шара через ω, а ускорение силы тяжести через g, то для расстояния х точки падения ядра к западу от пушки получаются выражения: на экваторе ω
а на широте φ
Применяя формулу к задаче, поставленной первым автором, имеем
Подставив эти величины в первую формулу, получаем х = 520 км: ядро упадет в 520 км к западу от пушки (а не в 4000 км, как думал первый автор).
Что же дает формула для случая, рассмотренного Фламмарионом? Выстрел произведен был не на экваторе, а близ Парижа на широте 48°. Начальную скорость ядра старинной пушки примем равной 300 м/с. Подставив во вторую формулу
получаем х = 18 м; ядро упадет на 18 м к западу от пушки (а не в самое жерло, как полагал французский астроном). При этом, конечно, нами не было принято во внимание возможное отклоняющее действие воздушных течений, способное заметно исказить этот результат.
Вес на большой высоте
В расчетах предыдущей статьи принималось, между прочим, в соображение одно обстоятельство, на которое мы не обрати ли до сих пор внимания читателя. Речь идет о том, что по мере удаления от Земли сила тяжести ослабевает. Тяжесть есть не что иное, как проявление всемирного тяготения, а сила взаимного притяжения двух тел при возрастании расстояния между ними быстро ослабевает. Согласно закону Ньютона сила притяжения убывает пропорционально квадрату расстояния; при этом расстояние следует считать от центра земного шара, потому что Земля притягивает все тела так, словно вся ее масса сосредоточена в центре. Поэтому сила притяжения на высоте 6400 км, т. е. в месте, удаленном от центра Земли на 2 земных радиуса, ослабевает в четыре раза по сравнению с силой притяжения на земной поверхности.
Для брошенного вверх артиллерийского снаряда это должно проявиться в том, что снаряд поднимется выше, чем в случае, если бы тяжесть с высотой не убывала. Для снаряда, выпущенного отвесно вверх со скоростью 8000 м/с, мы приняли, что он поднимется до высоты 6400 км. Между тем, если вычислить высоту поднятия этого снаряда по общеизвестной формуле, не учитывающей ослабления тяжести с высотой, получится высота вдвое меньшая. Сделаем это вычисление. В учебниках физики и механики приводится формула для вычисления высоты h поднятия тела, брошенного отвесно вверх со скоростью v при неизменном ускорении силы тяжести g:
Для случая v = 8000 м/с, g = 9,8 м/с2 получаем
Это почти вдвое ниже той высоты поднятия, которая указана в предыдущей статье. Разногласие обусловлено, как уже говорилось, тем, что, пользуясь формулами учебника, мы не приняли во внимание ослабления силы тяжести с высотой. Ясно, что, если снаряд притягивается Землей слабее, он должен при данной скорости подняться выше.
Не следует спешить с заключением, что приводимые в учебниках формулы для вычисления высоты подъема тела, брошенного вверх, неверны. Они верны в тех границах, для которых предназначаются, и становятся неверными лишь тогда, когда вычислитель выходит с ними за указанные границы. Предназначаются же эти формулы для весьма небольших высот, где ослабление силы тяжести еще настолько незначительно, что им можно пренебречь. Так, для снаряда, брошенного вверх с начальной скоростью 300 м/с, ослабление силы тяжести сказывается весьма мало.
Но вот интересный вопрос: ощутительно ли уменьшение силы тяжести для высот, с которыми имеют дело современная авиация и воздухоплавание? Заметно ли уже на этих высотах уменьшение веса тел? В 1936 г. летчик Владимир Коккинаки поднимал в своей машине различные грузы на большую высоту: 1/2 т на высоту 11 458 м, 1 т — на 12 100 м и 2 т на 11 295 м. Спрашивается: сохраняли ли эти грузы на указанных рекордных высотах свой первоначальный вес или теряли там заметную его часть? С первого взгляда может казаться, что подъем над земной поверхностью на десяток с лишним километров не может заметно уменьшить вес груза на такой большой планете, как Земля. Находясь у земной поверхности, груз отстоял от центра нашей планеты на 6400 км; поднятие на 12 км увеличивает это расстояние до 6412 км: прибавка как будто чересчур ничтожная, чтобы могла сказаться убыль в весе. Расчет, однако, говорит другое: потеря веса получается довольно ощутимая.
Выполним вычисление для одного случая: например, для подъема Коккинаки с грузом 2000 кг на 11 295 м. На этой высоте самолет находится дальше от центра земного шара, нежели при старте, в 6411,3/6400 раз.
Сила притяжения ослабевает здесь в
Следовательно, груз на указанной высоте должен весить
Если выполнить это вычисление (для чего удобно воспользоваться приемами приближенного расчета
